2.3.2抛物线的简单几何性质

2.3.2抛物线的几何性质07.01.05前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质,它们都是通过标准方程的形式研究的,现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么?一、复习回顾：图形方程焦点准线lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO2px2px2py2py)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pFy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）练习：填空（顶点在原点，焦点在坐标轴上）方程焦点准线开口方向xy62yx420722yx)0,(23F)0,1(F)1,0(F),0(87F23x1x1y87yxy42开口向右开口向左开口向上开口向下yox)0,2(pFP(x,y)一、抛物线的几何性质抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。1、范围由抛物线y2=2px（p0）220pxy而0p0x所以抛物线的范围为0x(,)xy关于x轴对称(,)xy由于点也满足，故抛物线(p0)关于x轴对称.(,)xyy2=2pxy2=2px2、对称性yox)0,2(pFP(x,y)定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线的顶点。yox)0,2(pFP(x,y)由y2=2px（p0）当y=0时,x=0,因此抛物线的顶点就是坐标原点（0，0）。注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。３、顶点4、离心率yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1。下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。5、开口方向yox)0,2(pFP(x,y)抛物线y2=2px（p0）的开口方向向右。pyxpyxpxypxy22222222+X，x轴正半轴，向右-X，x轴负半轴，向左+y，y轴正半轴，向上-y，y轴负半轴，向下特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21（二）归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程，并用描点法画出图形。因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解：所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx（三）、例题讲解：2224yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：022.83.54(3)连线：11xyO变式题１：求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M（２，），抛物线的标准方程。22（三）、例题讲解：（三）、例题讲解：练习１：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,２)的抛物线的标准方程为yxDyxCyxByxA212222.2.4.8.yxxyDxyCxyBxyA364.2.2.4.22222或（三）、例题讲解：练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5,)到焦点距离为6,则抛物线的标准方程为52变式题2：已抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在X轴的正半轴上,若抛物线上一动点P到A(2,1/3),F两点的距离之和最小值为4,求抛物线的标准方程。（三）、例题讲解：课本例4P61：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。（三）、例题讲解：课本例题推广：直线l经过抛物线y2=2px的焦点,且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长|AB|=x1+x2+P.练习3：已知过抛物线y2=9x的焦点的弦长为12,则弦所在直线的倾斜角是（三）、例题讲解：2323434656....DCBA或或或练习4：若直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于A，B两点,且线段AB的中点的横坐标为2,求线段AB的长.（三）、例题讲解：课本例5P62：已知抛物线的方程为y2=4x,直线l经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点:没有公共点.（三）、例题讲解：变式题3：已知直线y=(a+1)x与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.（三）、例题讲解：练习5：已知直线y=kx+2与抛物线y2=8x恰有一个公共点,则实数k的值为（三）、例题讲解：01.0.31.1.或或DCBA例4：已知过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q平分,求弦AB所在的直线方程.（三）、例题讲解：练习6：求以Q(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦AB所在的直线方程.（三）、例题讲解：变式题4：求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.（三）、例题讲解：例5：求抛物线y2=64x上的点到直线4x+3y+46=0的距离的最小值,并求取得最小值时的抛物线上的点的坐标.（三）、例题讲解：练习7：抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是3....585734DCBA（三）、例题讲解：练习8：抛物线y2=x和圆(x-3)2+y2=1上最近的两点之间的距离是()1.1.2.1.211210DCBA（三）、例题讲解：例6：已知抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,若x1x2=-1/2,则m的值为()232532..2..DCBA（三）、例题讲解：变式题6：已知直线y=x+b与抛物线x2=2y交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求b的值.232532..2..DCBA（三）、例题讲解：例7(习题2.3B组2P64)：正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个三角形的边长.yOxBA分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.线上，在抛物、的顶点解：如图，设正三角形BAOAByOxBA），则，）、（，且坐标分别为（2211yxyx.22222121pxypxy，，，所以：又22222121||||yxyxOBOA，即：022212221pxpxxx.022121））（（pxxxx，，，020021pxx.21xx.||||21轴对称关于，即线段由此可得xAByy，，且轴垂直于因为设oAOxABxyxA30),(11yOxBA.3330tan11oxy，pyx2211.342||1pyAB.321py所以（三）、例题讲解：变式题7(复习参考题A组7P68)：正三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px(p0)焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个三角形的边长.分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们的公共的对称轴,则容易求出三角形的边长.yOxBAF课堂练习：求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(5,-4).20xy2165yx2例2、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。AB设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得230240p22(0)ypxp454p所求的标准方程为焦点坐标为2252yx45(,0)8补充（1）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为。24yx16483课堂练习：小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;