欧几里得空间

欧几里得空间线性空间内积数乘加法欧几里得空间内积：(1),,(2),,,(3),,aa0,0(4)当时,设V是实线性空间。如果对于V中任意一对向量按某一法则在R中有唯一的实数与之对应，记为，且满足条件：,,nR12(,,...,),nxxx12(,,...,)nyyy1122,...nnxyxyxy例1规定:里,对于任意两个向量容易验证,关于内积的条件被满足，因而nR对于这样定义的内积来说构成一个欧氏空间.在1122,.2..nnxyxynxy例2不难验证,关于这个内积也构成一个nRnR12(,,...,),nxxx12(,,...,)nyyy规定:里,对于任意两个向量在欧氏空间.以后凡说到欧式空间均指例1中所述的空间。nR欧氏空间的基本性质：1.对于任意的，有，特别。2.设为V中某一向量，若对于V中任何向量都有，则。3.对于任意的及恒有：V0,00,00,00,ijV,(1,2,;1,2,)ijabRiljt1111,,ltltiijjijijijijabab2212||OPxxx1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO矢量op的长度222123||OPxxx矢量op的长度回顾：二、三维空间中向量的长度向量的模：,opop,opop定义：||,欧氏空间中的任一向量与它自身内积的平方根，称为该向量的模（或长度），记为向量的模：模为1的向量称为单位向量对任意的向量，恒有：定理：向量的模：2α,βα,αβ,βα,β取等号的充要条件是线性相关。α,βα,βαβ即：非零向量的夹角规定为：α,βarccos.α,β=αβ记为：向量的夹角：定义：0当向量的内积为零，即：α,β,0称向量正交．α,β零向量与任何向量都正交arccosarccos(0).2α,β=αβ,0向量的夹角：在欧氏空间中，若向量与向量组中的每一个12,,,n向量正交，则与该向量组的任意线性组合也正交。证明：,0,1,2,iin11,,,0nniiiiiikk1niiik标准正交基：在n维欧氏空间V中基：12,,,n向量：在基下的坐标：12,,,nxxx向量：在基下的坐标：12,,,nyyy11122nnniiixxxx11122nnnjjjyyyy1111,,,nnnniijjijijijijxyxy标准正交基：1111,,,nnnniijjijijijijxyxy若基里面的向量是正交的单位向量组成，则上式有最简单的形式：11122,niininxxxyyxyy我们所熟悉的空间直角坐标系就是建立在互相正交的单位向量所组成的基上标准正交基：定义：欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组如果一个正交组的每一个向量都是单位向量,这个正交组就叫做一个标准正交组.例1,21,0,21,0,1,02121,0,213构成3R一个标准正交组。,1321.0,,,133221因为标准正交基：例2：]2,0[]2,0[C闭区间函数组：的一个正交组。1，cosx,sinx,…,cosnx,sinnx,…构成上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[C20,,,,0sinsinnmnmnxdxmx若若,,0,,coscos20nmnmnxdxmx若若20,21dx(),()()()bafxgxfxgxdx此欧氏空间的内积定义为：222000cossincossin01,12,cos,cossin,sin,1,cos1,sin0,cos,cossin,sinmxnxdxnxdxnxdxnxnxnxnxnxnxmxnxmxnx所以,,0sin,cosnmnxmx若把函数组中每一向量除以它的长度，我们就得一个标准正交组11111,cos,sin,...,cos,sin,...2xxnxnx定理：标准正交基：12,,,n欧氏空间中的正交组必线性无关.证明：有实数12,,,naaa使得02211nnaaa因为当i≠j时,0ij，所以上式等于但,0ii，所以0,(1,2,,)iain所以n,,,21线性无关.为欧氏空间V中的一个正交组110,0,,nniijjjijjjaa0,iiia1,2,,in标准正交基：定义：设V是一个n维欧氏空间，如果V中有12,,,nn个向量构成一个正交组，那么这个n个向量构成V的一个基。叫做V的一个如果正交基还是一个标准正交组，那么就称正交基。这个基是一个标准正交基。在标准正交基下，向量的内积计算最简单。标准正交基：正交组中的向量一定线性无关，但线性无关组不一定正交但我们可以把一个非正交的线性无关组改造成正交组所以也可以把一个非正交的基改造成正交基，进而改造成标准正交基求标准正交基定理：12,,,m是欧氏空间V的一组线性无关的向量,12,,,,m使得k可以由k,,,21线性表示，k=1,2,…,m.那么可以求出V的一个正交组先取11,显然1是1的线性组合，且.01其次取2211k求标准正交基证明：（数学归纳法）21111,,k那么是221,的线性组合，并且因为线性无关，所以.0221,又由2121111,,,0k所以2122111,,假定我们得到了满足定理要求的121,,,,(11)kkm所以同理可得313233121122,,,,11111111,,,,kkkkkkkk取k是k,,,21的线性组合。k,,,21线性无关，由,0k得可看出又因为121,,,k两两正交。1,,2,1,0,,,,,kiiiiiikikik所以所以找到了满足定理要求的。k定理得证。求标准正交基11,2122111,,313233121122,,,,1111111111,,,,,,kkkkkkkjkkjjkjj(2,3,,)km上述证明过程同时给出了把无关组改造成正交组的方法，称为施密特正交化方法在R3中施密特正交化过程等价于如下过程设a1,a2,…,ar是向量空间V中的一个基，那么令11baa1b1a2a3c2b2c3c31c32b3122222111[,][,]babacabbb3333313213233121122[,][,][,][,]bacaccbabaabbbbbb求标准正交基求标准正交基得到正交组后，再将组中的向量单位化（除以自身的模），即可得到标准正交组根据以上的方法，可将欧氏空间中的一个基先化成正交基，然后再将正交基中的向量单位化，即可得到标准正交基例：设，试用施密特正交化过程把这组向量化为标准正交组．解：第一步正交化，取1231142,3,1110aaa111222111132333121122111,45321,631114111,,1512120,,330111aaa1112223331112||611111||311110||21第二步单位化，令例：设，试用施密特正交化过程把这组向量化为标准正交组．123111011,,101110aaa正交变换：在欧氏空间V中称T为正交变换T有线性变换T,对于空间V中的任一向量，如果既：正交变换就是保持向量的模不变的线性变换正交变换的性质：T为正交变换，α、β为欧氏空间V中的向量，则有1.,,TT证明：令因T是正交变换，所以22TT22222(),(),,2,2,,,2,TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT222,,,2,,2,,,TT反过来也可由推出T是正交变换所以是T为正交变换的充要条件,,TT正交变换的性质：2.,,TT证明：因T是正交变换，所以TT,arcco,s,,arccosarccos,TTTTTT正交变换的性质：3.一个线性变换作用于一个标准正交基，如结果仍是标准正交基，则此变换一定为正交变换设是n维欧氏空间的标准正交基，V中的线性变换T是线性变换的充要条件是，也是V中的标准正交基12,,,n12,,,nTTT对标准正交基实行正交变换后，得到的仍然是标准正交基。必要性：充分性：正交变换的性质：4.一个线性变换在标准正交基下的矩阵如果是正交矩阵，则此变换一定为正交变换正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵必要性：充分性：设是n维欧氏空间的标准正交基，V中的线性变换T是线性变换的充要条件是，T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵。12,,,n12,,,nijnnHh111212121212121122,,,,,,,,,nnnnnnnnnaaaaaaMaaa正交变换的性质：5.从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵为正交矩阵证明：标准正交基：12,,,n标准正交基：12,,,n从到的过渡矩阵M,?,,?iiij1122,,,iiinnnaaa例1在欧氏空间中,规定线性变换T为:3R1231212312322666333(,,),,22663333Txxxxxxxxxxx证明T是正交变换.例2证明欧氏空间V的一个正交变换T使任意两个向量的距离保持不变。即：对一切,,V||||TT都有