【一本通】2014届高考数学一轮复习 第8章 第49讲 圆的方程课件 理

(22)　，　221..0,04xmymm若原点在圆的内部，则实数的取值范围是22422.mmm解析依题意，得所：，以(1)(4)，，22224380..xykxykk已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是22224438434041.kkkkkk由，解得或解析：222xy3.0,020.xy以原点为圆心，且与直线相切的圆的方程为　22|2|212122.rxy，所求圆的方程为解析：225610xy4,96,3.4.PQPQ已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为　　225,664394362||102PQPQMMPQPQr因为为直径，所以的中点为该圆的圆心，即，又因为，所以解析:，223225xy1,1(22)10..5CABlxyC已知圆心为的圆经过和，，且圆心在直线：上，则圆的标准方程是　222222(1)111212353225.aaaaaaarxy设圆心坐标为，，则有，解得，所以，故圆的方程是解析：圆的标准方程【例1】求经过点A(0,5)，且与直线x－2y＝0和2x＋y＝0都相切的圆的方程．2222222222()()15(5),3152255555(1)(3)5(5)(15)125.xaybraaabrrbbababrrxyxy由于已知条件与圆心、半径有关，故设圆的标准方程，从而求出圆的方程．设所求圆的方程为－＋－＝，＋－＝则解得或所以圆的方程为－＋－＝或－＋－＝【解析】在用待定系数法求圆的方程时，要善于根据已知条件来选择圆的方程．如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程．3017yxyyx一个圆与轴相切，圆心在直线－＝上，且在直线＝上截得的【变式练弦长为2，求习】此圆的方程．22222222222().303..(3)()327|2|79721133.(3)(1)9(3)(1Oabrxyabyraxbybbyxyxbdrbbbaaxyxy设圆的圆心坐标为，，半径为因为圆心在直线－＝上，所以＝又圆与轴相切，所以＝所以所求圆的方程可设为－＋－＝因为圆在直线＝上截得的弦长为所以圆心到直线＝的距离＝＝＝解得＝或＝－，则＝或＝－所以所求圆的方程为－＋－＝或＋【＋析】＋解2)9.＝圆的一般方程【例1】已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．2222220.104160(0)0401(1)41604xyDxEyFABEFDaEFaxyDFEFaDDaa设所求圆的方程为＋＋＋＋＝因为点、在此圆上，所以＋＋＝，①＋＋＋＋＝，②又知该圆与轴直线＝相切，所以由＝，－＝，③由①、②、③消去【、可得解析】：－＋＋－＋＝，④2222145410081716.01.081716014540.aDEFaaDEFaaxyxyaxyxy由题意方程④有唯一解，当＝时，＝－，＝－，＝；当时，由＝可解得＝，这时＝－，＝－，＝综上可知，所求的值为或当＝时，圆的方程为＋－－＋＝；当＝时，圆的方程为＋－－＋＝与坐标轴相切时圆的方程求解及其参数的求解问题，方程形式选用要灵活．如果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常采用圆的一般式方程．【变式练习2】已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示的图形是一个圆．(1)当圆的面积最大时，求圆的方程；(2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数m的取值范围．2224222222212(3)2(14)1690(3)(14)761.7613167()77xymxmymxmymmmrmmm将方程＋－＋＋－＋＋＝化为－－＋＋－＝－＋＋要使圆的面积最大，需半径最大而＝－＋＋＝－－＋【解析】，22211731677241316()()7497mmrxy它是一个一元二次函数，其图象的开口向下．因为－，所以当＝时，取得最大值此时圆的方程为－＋＋＝22222422346(3)2(14)41690386004mmmmmmmmP当且仅当＋－＋＋－＋＋即－，即时，点在圆内．与圆有关的轨迹问题12121214()23OOOOPOOPMPNMNPMPNP如图，与的半径都是，＝，过动点分别作、的切线、、分别为切点，使得＝，试建立适当的坐标系，求动点的轨【例】迹方程．12121222(2,0)2,022OOOOOxOOPMPNPMPN以的中点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则－，，由已【知＝，得＝解析】，22122222222222112(1)()(2)12[(2)1](6)33(6)33(1230)POPOPxyxyxyxyxyxyx因为两圆的半径均为，所以－＝－．设，，则＋＋－＝－＋－，即－＋＝，所以所求轨迹方程为－＋＝或＋－＋＝．求轨迹方程的步骤通常可以简化为(1)建系，设点；(2)列式；(3)化简．坐标系的选取决定着方程化简的繁简，设点时，通常求哪个点的轨迹方程，就假设那个点的坐标为(x，y)，同时，解题中还需区分轨迹方程与轨迹．【变式练习3】已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．22222(,0),0()||||ABaAaBaMxyMAMBxayxay建立坐标系如图所示，设＝，则－，，设，是轨迹上任意一点，则由题设，得＝，坐标代入，【解析】得＝，222222222222222(1)(1)2(1)(1)0.110()2121210(0)1121xyaxaMAMBMxMyMxyaaxaMa化简得－＋－＋＋＋－＝当＝时，即＝时，点的轨迹方程是＝，即点的轨迹是直线轴，当时，点的轨迹方程是＋＋＋＝点的轨迹是以－，为圆心，为半径的圆．与圆有关的最值问题2222410.24(1)3xyxyxyxyxxy已知实数、满足方程＋－＋＝求：的最大值和最小值；－的最大值和最小值；＋的最大值【例】和最小值．2222(2)32,031()(2)333xyyxyxxyyx原方程化为－＋＝，它表示圆心为，半径为的圆．表示圆上的点，与原点连线的斜率．过原点作圆－＋＝的切线，则两切线的斜率分别是最大值和最小值．通过画图可求得的最大值为，最小【析】值为－解2222222241022(2)10.()4(2)8(1)4(42)026262626yxmyxmxyxxmxmxymmmmmyx令－＝，则将＝＋代入方程＋－＋＝，并化简，得＋－＋＋＝因为点，在圆和直线上，即上述方程有实数解，所以＝－－＋＝－－＋，解得－－－＋，所以－的最大值为－＋，最小值为－－222233223(23)743(23)743ABOAOBxy过原点和圆心的直线与圆交于两点、，则＝＋，＝－所以＋的最大值为＋＝＋，最小值为－＝－涉及到圆上的点(x，y)的最大值和最小值问题，可借助于图形，了解所求量的几何意义，用数形结合来解．有下列几类：①就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的连线的斜率；②y－x就是直线y＝x＋m在y轴上的截距；③y＋x是直线y＝－x＋m在y轴上的截距；④(x－a)2＋(y－b)2就是圆上的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方．ybxa【变式练习4】求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到x－y＋2＝0的最近、最远距离．22(2)(3)4(23)2.(23)20|232|72227222722.2xyrxy由圆的方程－＋＋＝易知圆心坐标为，－，半径＝而，－到直线－＋＝的距离为＝故圆上的点到直线的最远距离为＋，最【近距离为】－解析1.点P(2，－1)是圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为______________x－y－3＝01,0121111230.OPOABkkAByxxy【解析依题意，圆心坐标为，所以直线的斜率＝－＝-由点斜式得直线的】方程为＋＝－，即－－＝22111xy1..2xy圆心在第二象限，半径为，并且与、轴都相切的圆的方程为　　221,11111.xy圆心为，半径为，圆的方程为解析：3.若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线l：2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是______________1(]4－，2(1,2)11()241(]4Cabababab圆的圆心坐标为－，则有＋＝，所以＝，即的取值【范围是－，解析】4.(1)求经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程；(2)求以O(0,0)，A(2,0)，B(0,4)为顶点的三角形OAB的外接圆的方程.22222222221()23045(5)(2)(5)(2)10,(4)(5)10.20.02404160240.CabababababrxyxyDxEyFFDFEFxyxy设圆心，，则有，解得所以半径＝则所求圆的方程为－＋－＝设圆的方程为＋＋＋＋＝将三个已知点的坐标代入得故所求圆的方程【解析为－－＝】＋2()(0)125.24CtttxtOAyOBOOAByxCMNOMONCR已知：以点，，为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为原点．求证：的面积为定值；设直线＝－＋与圆交于点，，若＝，求圆的方程V222222212124(1)24()()400002114||2422OABCOOCttCxtytttxyyyxxttSOAOBttOABVV因为圆过原点，所以＝＋设圆的方程是－＋－＝＋令＝，得＝，＝；令＝，得＝，＝，所以＝＝＝，即的面积【解析】为定值．2.1221.22122222,15MNOCOMONCMCNOCMNkkOCyxtttttCOC因为＝，＝，所以的垂直平分线段为因为＝－，所以＝，所以直线的方程是＝所以＝，解得：＝或＝－，当＝时，圆心的坐标为，＝，2212455242(21)592455242(2)(1)5.CyxdCyxtCOCCyxdCyxtCxy此时到直线＝－＋的距离＝，圆与直线＝－＋相交于两点．当＝－时，圆心的坐标为－，－，＝，此时到直线＝－＋的距离＝，圆与直线＝－＋不相交，所以＝－不符合题意舍去．所以圆的方程为－＋－＝1．在讨论含有字母参变量的圆方程问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先”的拓展．2．圆的标准方程和一般方程都含有三个参数，因此，要具备三个独立已知条件才能确定一个圆．求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可直接用标准形式写出圆的标准方程；若已知条件与圆心、半径关系不大，则用一般式方便．如果通过点才方便解题或问题是求与圆上的点有关的最值问题，可考虑用圆的参数方程．3．求圆的方程的方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程(当然有时也可以选择参数方程)；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F的对应的值，代入圆的标准方程或一般方程．4．在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化．圆的常用几何性质为：(1)直径所对的圆周角为直角，这样有勾股定理，斜率的乘积为－1可用；(2)弦的中点和圆心的连线垂直平分弦，这样有勾股定理、斜率的乘积为－1和弦的垂直平分线过圆心