镜像法

电磁场第3章静电场及其边值问题的解法静态场问题已知场域边界上各点电位值sfs1分布型问题给定场源分布，求任意点场强或位函数；边值型问题给定边界条件，求解位函数的泊松方程或拉普拉斯方程，以得到任意点位函数或场强；静态场问题第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件一、二类边界条件的线性组合，即sfns42已知场域边界上各点电位的法向导数sfns2电磁场第3章静电场及其边值问题的解法一、静电场边值问题及其分类1.边值问题的分类----根据场域边界条件的不同狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值（第一类）聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值（第二类）混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合（第三类）sfs1sfns2sfns42电磁场第3章静电场及其边值问题的解法2.边值条件包括：1.场域的边界条件2.衔接条件----不同媒质分界面上的边界条件3.周期边界条件4.自然边界条件（无界空间）电磁场第3章静电场及其边值问题的解法边值条件有限值rrlim自然边界条件（无界空间）周期边界条件(2π)衔接条件----不同媒质分界面上的边界条件，如121212,nn12122πrS电磁场第3章静电场及其边值问题的解法例：22220xy(0,)0,(,)0yay0(,0)0,(,)xxbU（第一类边值问题）0UbaOxy0UbaOxy0x0x22220xy00,0xxaxx0(,0)0,(,)xxbU（第三类边值问题）例：电磁场第3章静电场及其边值问题的解法计算法实验法图解法边值型问题解法解析法数值法有限差分法有限元法边界元法矩量法…镜像法分离变量法复变函数法格林函数法…§3.5静电场边值问题，唯一性定理3.边值型问题的解法电磁场第3章静电场及其边值问题的解法二、惟一性定理UniquenessTheorem即，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。§3.5静电场边值问题，唯一性定理在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有惟一值。n惟一性定理的表述SV惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据电磁场第3章静电场及其边值问题的解法§3.6镜像法ImageMethod镜像法的基本原理接地导体平面的镜像点电荷对无限大介质平面的镜像导体球面的镜像导体圆柱面的镜像线电流对无限大磁介质平面的镜像本节内容电磁场第3章静电场及其边值问题的解法当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代1.问题的提出几个实例q一、镜像法的基本原理接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。q′非均匀感应电荷等效电荷电磁场第3章静电场及其边值问题的解法接地导体球附近有一个点电荷，如图。非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。q非均匀感应电荷q′等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？电磁场第3章静电场及其边值问题的解法2.镜像法的原理镜像法概念：在一定条件下，用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上未知的较为复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。电磁场第3章静电场及其边值问题的解法用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质空间，使计算简化。镜像法:3.理论依据：惟一性定理电磁场第3章静电场及其边值问题的解法个数、位置、电量大小——“三要素”。4.镜像法应用的关键点5.确定镜像电荷的两条原则等效求解的“有效场域”镜像电荷的确定镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场区域的边界条件来确定；电磁场第3章静电场及其边值问题的解法二、接地导体平面的镜像1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像3.点电荷对半无限大接地导体角域(导体劈)的镜像电磁场第3章静电场及其边值问题的解法二、接地导体平面的镜像1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像求（1）导体上方（即z0的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。§3.6镜像法qh待求场域：上半空间边界：无限大导体平面边界条件：0电磁场第3章静电场及其边值问题的解法q*此时，在z0的空间里任一点p(x,y,z)的电位等于原点电荷q和镜像电荷所产生电位的叠加。§3.6镜像法有效区域RRqhhqqh电磁场第3章静电场及其边值问题的解法222222)hz(yx1)hz(yx14qR1R14q于是，注意：仅对上半空间等效。*此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。可见，引入镜像电荷后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z0的空间，未改变所求空间的电荷分布，因而在z0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。qq:0RRR040Rqq故对z=0平面上任意点有RqRq44*选无穷远处为参考点，则在z0的空间任一点p的总电位是：zxqh),,(zyxpqq得§3.6镜像法电磁场第3章静电场及其边值问题的解法镜像电荷Z0空间的电位分布：有效区域RRqhhqqh222222)(1)(14114hzyxhzyxqRRqhhqq，电磁场第3章静电场及其边值问题的解法E3/23/222222204π()()xqxxExyzdxyzd3/23/222222204π()()yqyyExyzdxyzd3/23/222222204π()()zqzdzdExyzdxyzd上半空间的电场强度：电磁场第3章静电场及其边值问题的解法23222002hyxqhznzzs（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：§3.6镜像法qhhznsED0或电磁场第3章静电场及其边值问题的解法导体表面的总感应电荷2223/2dddd2π()SSqxyqdxyqxyd22016πzqFad•导体表面上感应电荷对点电荷的作用力qhqhhdqhddsQSsi0222322020)(2镜像电荷代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。qq可见，qh电磁场第3章静电场及其边值问题的解法2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题2,,0;0,0lxzhzzhlhl有效区域RRl-hz镜像线电荷：ln(0)2πlRzR　待求场域z0中的电位:hhll上半空间的电场)0(ˆ2ˆ2zRRRREllxz电磁场第3章静电场及其边值问题的解法3.点电荷对半无限大接地导体角域(导体劈)的镜像两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板形成的角域内，有点电荷q位于(d1,d2)处,求角内的电场分布。。d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1电磁场第3章静电场及其边值问题的解法d1qd2RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1d11qd221231111()4πqRRRR镜像电荷q1=－q，位于(－d1,d2)镜像电荷q2=－q，位于(d1,－d2)镜像电荷q3=q,位于(－d1,－d2)电位函数电磁场第3章静电场及其边值问题的解法由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解;π,nn结论：q/3/3q当n=3时：电磁场第3章静电场及其边值问题的解法当n=3时：角域夹角为π/n，n为整数时，有(2n－1)个镜像电荷，n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用了；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图所示。所有镜像电荷都正、负交替地分布在同一个圆周上，该圆的圆心位于角域的顶点，半径为点电荷到顶点的距离。π3qπ3qqqqqq轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。电磁场第3章静电场及其边值问题的解法例1一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q移至无穷远时电场力所做的功。20()4π(2)xqExexe22200()d1d4π(2)16πddWqExxqqxxd2oe016πqWWdq'qx=∞0d-d由镜像法，感应电荷可以用像电荷替代。当电荷q移至x时，像电荷应位于－x，则像电荷产生的电场强度qqq电磁场第3章静电场及其边值问题的解法三、点电荷对无限大介质平面的镜像12q11qqRRpdd设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷q′1114π4πqqRR介质1中任一点的电位为：电磁场第3章静电场及其边值问题的解法22qqpR当待求区域为介质2所在区域时，设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与q重合，同时将整个空间视为均匀介质2。224πqqR在分界面(R=R′=R″)上，应满足电位的边界条件：1212qqqqqqqq1212qqqnn2211则区域2中任一点的电位为：电磁场第3章静电场及其边值问题的解法电介质中的电场分布：12111212qqqqqqq22qq2112电磁场第3章静电场及其边值问题的解法作业：3.1-23.2-33.3-23.6-1（利用P.70例3.1-3结果）3.6-3（只写出电位表达式，即第一问）电磁场第3章静电场及其边值问题的解法§3.6镜像法ImageMethod镜像法的基本原理接地导体平面的镜像点电荷对无限大介质平面的镜像导体球面的镜像导体圆柱面的镜像线电流对无限大磁介质平面的镜像本节内容电磁场第3章静电场及其边值问题的解法1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像求（1）导体上方（即z0的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。§3.6镜像法待求场域：上半空间边界：无限大导体平面边界条件：z=0时0有效区域RRqhhqqh镜像电荷hhqq，电磁场第3章静电场及其边值问题的解法2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题2,,0;0,0l