国家集训队2004论文集 黄源河

浅谈图论模型的建立与应用广东省中山市第一中学黄源河引言图论是数学的一个有趣的分支。图论的建模，就是要抓住问题的本质，把问题抽象为点、边、权的关系。许多看似无从入手的问题，通过图论建模，往往能转化为我们熟悉的经典问题。例题1PlacetheRobots（ZOJ）问题描述有一个N*M(N,M=50)的棋盘，棋盘的每一格是三种类型之一：空地、草地、墙。机器人只能放在空地上。在同一行或同一列的两个机器人，若它们之间没有墙，则它们可以互相攻击。问给定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使它们不能互相攻击。WallGrassEmpty例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型一5467832112346578于是，问题转化为求图的最大独立集问题。在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到右边的这个图：例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型一5467832112346578在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关心的，我们关心的只是空地和空地之间的联系。因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到右边的这个图：这是NP问题！我们将每一行，每一列被墙隔开，且包含空地的连续区域称作“块”。显然，在一个块之中，最多只能放一个机器人。我们把这些块编上号。同样，把竖直方向的块也编上号。例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型二123451234例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型二123451234把每个横向块看作X部的点，竖向块看作Y部的点，若两个块有公共的空地，则在它们之间连边。于是，问题转化成这样的一个二部图：112233445由于每条边表示一个空地，有冲突的空地之间必有公共顶点，所以问题转化为二部图的最大匹配问题。例题1PlacetheRobots（ZOJ）模型二123412354112233445比较前面的两个模型：模型一过于简单，没有给问题的求解带来任何便利；模型二则充分抓住了问题的内在联系，巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种截然不同的结果呢？其一是由于对问题分析的角度不同：模型一以空地为点，模型二以空地为边；其二是由于对原型中要素的选取有差异：模型一对要素的选取不充分，模型二则保留了原型中“棋盘”这个重要的性质。由此可见，对要素的选取，是图论建模中至关重要的一步。例题1PlacetheRobots（ZOJ）小结例题2出纳员的雇佣（ACMTehran2000）问题描述有一家24小时营业的超市，需要雇佣一批出纳员。一天中每个小时需要出纳员的最少数量为R0,R1,R2,...,R23。有N个人申请这项工作，每个申请者，从一个特定时刻开始连续工作恰好8个小时，设Wi（i=0...23）表示从时刻i开始工作的申请者的人数（∑Wi=N=1000）。你的任务是计算出需要雇佣出纳员的最少数目，满足在每一时刻i，至少有Ri名出纳员在工作。例题2出纳员的雇佣（ACMTehran2000）分析初看本题，很容易使人往贪心、动态规划或网络流这些方面思考。然而，对于本题，这些算法都无能为力。由于本题的约束条件很多，为了理清思路，我们先把题目中的约束条件用数学语言表达出来。设S[i]表示0～i时刻雇佣出纳员的总数，那么我们可以将题目中的约束条件转化为下面的不等式组：0≤S[i]-S[i-1]≤Wi(0≤i≤23)S[i]-S[i-8]≥Ri(8≤i≤23)S[23]+S[i]-S[i+16]≥Ri(0≤i≤7)例题2出纳员的雇佣（ACMTehran2000）分析这样的不等式组，不禁使我们想到了差分约束系统。对于每个不等式S[i]-S[j]≤K，从顶点ｊ向顶点ｉ引一条权值为K的有向边。我们要求S[23]的最小值，就是要求顶点0到顶点23的最短路。注意上面第三条不等式：它包含三个未知数，无法在图中表示为边的关系。0≤S[i]-S[i-1]≤Wi(0≤i≤23)S[i]-S[i-8]≥Ri(8≤i≤23)S[23]+S[i]-S[i+16]≥Ri(0≤i≤7)怎么办例题2出纳员的雇佣（ACMTehran2000）分析退一步考虑：如果S[23]已经确定了，那么上面的不等式组可以完全转化为一个有向图，顶点0到顶点ｉ的最短路，就是S[i]的解。而当图中存在负权回路时，不等式组无解。至于S[23]，我们可以用二分法枚举，逐步缩小范围，用迭代法判断是否存在负权回路（判定可行性），最终求得S[23]的最小值。时间复杂度为O(243*log2N)。0≤S[i]-S[i-1]≤Wi(0≤i≤23)S[i]-S[i-8]≥Ri(8≤i≤23)S[23]+S[i]-S[i+16]≥Ri(0≤i≤7)例题2出纳员的雇佣（ACMTehran2000）小结本题用到了差分约束系统的理论，在竞赛中，这样的系统并不多见，但是却可以巧妙的解决一些难题。这类题目的模型都不明显，需要一定的思考和转化。做这类题目，关键是要把题目中的约束条件表示为不等式，再把不等式转化为图的最短路或最长路模型。例题3贪婪之岛（ZOJ）问题描述有N（N≤100000）张卡片，每张卡片有三种能力，每种能力的能力值分别为Ai，Bi，Ci。每张卡片可以使用其中一种能力，且每张卡片只能使用一次。现在需要A张卡片使用第一种能力，B张卡片使用第二种能力，C张卡片使用第三种能力（A+B+C≤100）。请计算使用哪些卡片，以及使用卡片的哪项能力，可以使相应的能力值之和最大。例题3贪婪之岛（ZOJ）分析最优化问题的解法有很多种，比如动态规划，网络流等，而本题就是一个比较明显的网络流模型。网络流模型中，权的类型众多，有流量，容量，还可以有费用。在本题中，容量可以作为选取的约束，确保解的合法性；费用则表示选取的价值，确保解的最优性。因此，更确切地说，本题是一个最大费用最大流模型。构图SP2P1P312345T每张卡片ｉ用顶点ｉ表示，另外加三个顶点P1，P2，P3，表示三种能力，还有源点S，汇点T。例题3贪婪之岛（ZOJ）构图SP2P1P312345TB,0从源点分别向P1，P2，P3引一条弧，容量分别为A，B，C，费用为0。例题3贪婪之岛（ZOJ）构图SP2P1P312345TB,0从P1，P2，P3向顶点ｉ(1≤i≤N)分别引一条弧，容量为1，费用分别为Ai，Bi，Ci。例题3贪婪之岛（ZOJ）构图SP2P1P312345TB,01,0从顶点ｉ(1≤i≤N)向汇点引一条弧，容量为1，费用为0。例题3贪婪之岛（ZOJ）构图SP2P1P312345TB,01,0构图之后，求出从S到T的最大费用最大流，再检查流出P1，P2，P3的弧，并输出最优方案。时间复杂度：O(N3)例题3贪婪之岛（ZOJ）N太大了，需要进一步优化！优化例题3贪婪之岛（ZOJ）本题的卡片总数有十万之多，而最终要选取的卡片数不超过100张。如果在构图之前，把没有用的卡片先删掉，必将大大提高效率。什么样的卡片是没有用的呢？先考虑第一种能力的选取：如果把全部卡片按第一种能力值从大到小排序，显然我们应该尽量从前面选A张出来，由于每张卡片只能使用一次，所以有可能会和其他的两种能力发生冲突，而冲突的卡片数最多是B+C张，所以实际上对我们有用的卡片只是前面的A+B+C张。优化例题3贪婪之岛（ZOJ）同理，对于第二种和第三种能力的选取，也只需保留其能力值最大的前A+B+C张卡片。这一步可以在线性时间内解决。这是一个既简单又有效的方法，经过这一步处理，保留下来的卡片数不会超过3(A+B+C)张，顶点数大大减少，求解最大费用最大流的时间复杂度降为O((A+B+C)3)。至此，算法已经优化到了一个可以接受的地步，时间复杂度仅为O(N+(A+B+C)3)。优化例题3贪婪之岛（ZOJ）如果还要进一步提高效率，可以用更有效的算法删掉多余的顶点。不过这样做意义不大，而且也不是本文讨论的要点。另外，本题还可以转化为二部图模型，用最佳匹配算法求解。这一步留给读者自己思考。小结例题3贪婪之岛（ZOJ）本题建立的是网络流模型。这类模型的算法系数大，编程复杂度也大，在竞赛中往往作为走投无路时的“候补算法”。但是，网络流模型的适用性广，一些较复杂，或者约束较多的问题，网络流模型可以很好地解决，而基于网络流模型的问题又比较明显，这使得网络流模型有着广泛的应用。结语问题是千变万化的，如何建立问题的图论模型并没有通用的准则。前面的几个例子都比较简单，在更复杂的问题中，有时我们会感到难以建立适当的模型，这时，我们需要在不改变问题原型本身的性质的前提下，对原型进行抽象，简化，在此基础上建立合适，有效的模型。有时，我们建立了问题的一个模型之后，可能会感到难以求解，这时，我们可能需要对模型进行修改，转化，或者对原型进行更深入的分析，抽取其中较关键的要素，建立一个易于求解的模型。这些都需要我们有丰富的经验，灵活的思维以及良好的创造力。