数的敛散性判别习题课

nnnuuuuu32111、常数项级数常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在).niinnuuuus121级数的部分和定义级数的收敛与发散性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和..0limnnu级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;;,则级数收敛若SSn;,0,则级数发散当nun一般项级数4.绝对收敛定义0,1nnnuu.有界部分和所成的数列正项级数收敛ns2、正项级数及其审敛法审敛法(1)比较审敛法若1nnu收敛(发散)且)(nnnnvuuv,则1nnv收敛(发散).(2)比较审敛法的极限形式设1nnu与1nnv都是正项级数,如果lvunnnlim,则(1)当l0时,二级数有相同的敛散性;(2)当0l时，若1nnv收敛,则1nnu收敛;(3)当l时,若1nnv发散,则1nnu发散;设1nnu为正项级数,如果0limlnunn(或nnnulim),则级数1nnu发散;如果有1p,使得npnunlim存在,则级数1nnu收敛.(3)极限审敛法(4)比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)设1nnu是正项级数,如果)(lim1数或nnnuu则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.(5)根值审敛法(柯西判别法)设1nnu是正项级数,如果nnnulim)(为数或,则1时级数收敛;1时级数发散;1时失效.定义正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu111)1()1(或莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:(ⅰ)),3,2,1(1nuunn;(ⅱ)0limnnu,则级数收敛,且其和1us,其余项nr的绝对值1nnur.)0(nu其中3、交错级数及其审敛法定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定理若1nnu收敛,则1nnu收敛.定义:若1nnu收敛,则称0nnu为绝对收敛;若1nnu发散,而1nnu收敛,则称1nnu为条件收敛.4、任意项级数及其审敛法5、函数项级数(1)定义设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数,则)()()(211xuxuxunn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.(2)收敛点与收敛域如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,(3)和函数在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.二、典型例题;)1()1(:11nnnnnnn判断级数敛散性例1解nnnnnnnnu)1(1,)11(21nnnnnnnnnnn122])11[(lim)11(lim2;10exxnnxn11limlim}ln1limexp{xxx}1limexp{xx;10e,01limnnu根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．;23cos)2(12nnnn解,223cos2nnnnnnu,2nnnv令nnvvnnnnnn221limlim11nnn21lim,121,21收敛nnn根据比较判别法，原级数收敛．1).0()1()2ln()3(nnanan解nanunnnnn1)2ln(limlim,)2ln(lim1nnna,2,2nenn时从而有,)2ln(1nnnn,1limnnn由于,1)2ln(limnnn.1limaunnn,1100时即当aa原级数收敛；,1110时即当aa原级数发散；,1时当a,)11()2ln(1nnnn原级数为,)11()2ln(limnnnn原级数也发散．敛？是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，是否收判断级数1ln)1(nnnn例２解,1ln1nnn,11发散而nn,ln1ln)1(11发散nnnnnnn即原级数非绝对收敛．,ln)1(1级数是交错nnnn由莱布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim,01limxx,0ln11limln1limnnnnnnn),0(ln)(xxxxf),1(011)(xxxf,),1(上单增在,ln1单减即xx,1ln1时单减当故nnn),1()1ln()1(1ln11nunnnnunn所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．问题:是否一定发散？那麽莱布尼兹定理中的条件如果它不满足交错级数,,)1(111nnnnnuuu研究例子:2)1()1()1(nnnn2)1()1()2(nnnn发散!收敛!).)((,1sin12为常数级数annnanB221sinnnna收敛且121nn收敛，12sinnnna,11发散而nn因而121sinnnnna由性质，发散.例3A.绝对收敛B.发散C.条件收敛D.收敛性与a的取值有关解1)11ln(lim]ln)1[ln(lim21nnnnnnnn]ln)1[ln(1nnnn4例判别下列级数的收敛性发散可知]ln)1[ln(,1nnnn与P—级数比解1115[ln(1)]nnn例)(2)1ln(:22xoxxx泰勒公式)0()(2)1ln(22xxoxxx21)1ln(lim20xxxx21)]11ln(1[lim20nnnx收敛解3116(cos)nnn例判别级数的收敛性2)1(coslimlimnnnnnnunnne12coslnlim121e311(cos)nnn所以级数收敛211coslim)1cos1ln(limcoslnlim22111112nnnnnnnnn解17(1),.nnnana例讨论级数的收敛性其中为实数解aannannauunnnnnnn1lim1limlim11naunnn)1(记的收敛性考虑1nnu利用达朗贝尔判别法.,1,原级数绝对收敛时当故a(为什么？).,1原级数发散时当a.1)1(,11条件收敛级数化为时当nnna.1,11发散级数化为时当nna,1时当a结论:.,1级数绝对收敛时当a.,11级数发散时及当aa.,1级数条件收敛时当a1)1(nnnna{}nna设数列的极限存在，级数收敛，证明级数亦收敛。例8{}nna11()nnnnaa1nna证明注意到等式1101()nnnnkkkkanakaa设数列的极限为A，级数的部分和为，级数的部分和为{}nna11()nnnnaanT1nnanS即1nnnSnaT1limlimlimnnnnnnSnaTAT两边取极限：故级数收敛。1nna证明：由于，所以nnnabc0nnnnbaca因为级数与都收敛，所以级数1nna1nnc1()nnnca收敛。1nnc例9级数与都收敛，且对一切自然数，下列的不等式成立：，证明级数亦收敛.nnnnabc1nnb1nna于是，由比较判别法知：级数收敛。1()nnnba又因为，()nnnnbbaa于是级数收敛。1nnb注意：比较判别法只适用于正项级数。一、选择题:1、下列级数中,收敛的是().(A)11nn；(B)11nnn；(C)1321nn；(D)1)1(nn.2、下列级数中,收敛的是().(A)11)45(nn；(B)11)54(nn；(C)111)45()1(nnn；(D)11)5445(nn.测验题BB3、下列级数中,收敛的是()(A)1222)!(nnn；(B)1!3nnnnn；(C)221sinnnn；(D)1)2(1nnnn.4、部分和数列ns有界是正项级数1nnu收敛的()(A)充分条件；(B)必要条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件.CC