高中立体几何典型500题及解析(五)(201~250题)

自助家教网海量教学资源，免费下载高中立体几何典型500题及解析(五)(201~250题)201.．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正△ABC的外接圆的半径332，它是Ｒｔ△中060所对的边，其斜边为34，即球的半径为34，∴81256V；202.正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为21,OO，连结2AO与1BO并延长，必交于CD的中点E，又aBE23，aEO632，连接2BO，在Rt△EBO2中，,362BO连结1AO与2BO交于3O，由Rt△32OAOＲｔ△21OBO，∴BOAOOOOO331332,，同理可证3333,OAODOCO到另二面的距离也等13OO，∴3O为四面体外接球与内接球的球心，由△31OBO∽△EBO2，∴aOO12631，∴2261,126,23,46aSaraSaR内内外外203.在RtΔABC中，AB＝BC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为β的二面角A—EF—B后，设∠AEC＝α，求证：2cosα-cosβ＝-1.解析：∠AFB＝β.可证：BC⊥AB，然后利用AC2＝BC2+AB2即可证得.204.如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.ＥＤＢＡＥＤＣＢＡ自助家教网海量教学资源，免费下载解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝090；205.已知正三棱柱ABC—111CBA的底面边长为８，侧棱长为６，D为AC中点，（１）求证：AB1∥平面C1DB；（２）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.(1)解析：连Ｂ１Ｃ交BC１于E，连结ED，则AB１∥DE，由线面平行定理得AB１∥平面BDC１；（２）∵AB１∥ＤＥ，∴DE与BC１所成锐角就是异面直线AB１与BC１所成的角，又BD⊥DC，在Rt△BDC１中，易知BE＝21BC１＝５，DE＝５，BD＝34，在△BDE中，cos∠BED＝251，∴异面直线AB１与BC１所成角的余弦值为251206.已知（如图）：三棱锥P—ABC中，异面直线PA与BC所成的角为090，二面角P—BC—A为060，△PBC和△ABC的面积分别为16和10，BC＝４.求：（１）PA的长；（２）三棱柱P—ABC的体积ABCPV解析：(1)作AD⊥BC于D，连PD，由已知PA⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD，∴∠PDA为二面角的平面角，∴∠PDF＝060，ＰＣＢＡ自助家教网海量教学资源，免费下载可算出PD＝８，AD＝５，∴PA＝７;(2)Ｖ＝3340207.如图2－33：线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，ACF的面积为72，求BDE的面积。解析：求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积。（提示：①ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为θ，则ABC的面积S＝21absinθ,②sinα=sin(180°-α)解答:∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE，又∵α∥β，∴AF∥BE同理可证：AC//BD，∴∠FAC与∠EBD相等或互补，即sin∠FAC=sin∠EBD.由AF∥BE，得212412QAQBAFBE，∴BE＝21AF由BD//AC，得：73219PBPABDAC，∴BD＝37AC又∵ACF的面积为72，即21AF·AC·sin∠FAC＝72，∴DBES＝21BE·BD·sin∠EBD＝21·21AF·37AC·sin∠FAC＝67·21AF·AC·sin∠FAC＝67×72＝84∴BDE的面积为84平方单位。208.a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题，①b//ac//bc//a②b//a//b//a③//c//c//④//////⑤a//c//ac//⑥a//////a其中正确的命题是（）A.①②③B.①④⑤C.①④D.①④⑤⑥解析：首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。PCAFDBEQβα图2－33自助家教网海量教学资源，免费下载解答:①三线平行公理，②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行④面面平行传递性，⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内，⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内，故①④正确∴应选C。209.长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与A1D所成的角为α，AC与BC1所成的角为β，A1C1与CD1所成的角为γ。求证：α＋β＋γ＝π解析：作如图的辅助线则∠AB1C为AB1与A1D所成的角∠AB1C＝α∵AB//A1B1//C1D1∴BC1//AD1，故∠D1AC为AC与BC1所成的角∠D1AC＝β∵AA1//DD1//CC1，∴A1C1//AC∴∠D1CA即为A1C1与CD1所成的角∠D1CA＝γ在△ACD1和△ACB1中，AB1＝CD1，B1C＝D1A，AC＝CA∴△ACD1≌△CAB1，故∠AB1C＝∠AD1C，故∠AD1C＝α在△AD1C中，∠AD1C＋∠D1CA＋∠D1AC＝π即：α＋β＋γ＝π210.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行。（已知α∥β，γ∥β，求证：α∥γ。）解析：如图2－，作两个相交平面分别与α、β、γ交于a、c、e和b、d、f//////////////////////bfbaeafdecdbca211.下列说法中正确的是（）：A.直线l平行于平面α内的无数条直线，则l//αADCBA1D1C1B1图2－ecαβγabdf自助家教网海量教学资源，免费下载B.若直线a在平面α外，则a//αC.若直线a//b，直线bα，则a//αD.若直线a//b，bα，那么a就平行于平面α内的无数条直线解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。解答:由直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，知l不一定平行于α，从而排除A直线a在平面α外，包括两种情况：a//α或a与α相交，故a与α不一定平行，从而排除B直线a//b，bα只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故a不一定平行于α，从而排除Ca//b，bα，那么aα或a//α，故a可能与平面α内的无数条直线平行，从而选择D点评:判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不可。。212.如图2－20，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN//平面BCE。解析：要证MN//平面BCE，就是要在平面BCE上找一条直线，证明它与MN平行即可。证明:连结AN并延长，交BE延长张于G，连结CG。由AF//BG，知MCAMNBFNNGAN，故MN//CG，MN平面BCE，CG平面BCE，于是MN//平面BCE。点评:证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。213.如图2－21，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点，（1）判断BD1和过A、C、E三点的平面的位置关系，并证明你的结论。（2）求ACE的面积。证明（1）：连结BD，令BD∩AC＝F。∵BD1和过A、C、E三点的平面平行，则F是DB的中点，又E是DD1的中点，∴EF∥BD1又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE（2）在正方形ABCD中，AB＝2，AC＝22，∴AF＝2DAFGNMBCE图2－20CBADA1D1C1B1ECBADA1D1C1B1E图2－F自助家教网海量教学资源，免费下载在直角△ADE中，AD＝2，DE＝1，∴AE＝5在Rt△EAF中，EF＝22AFEA＝25＝3∴632221ACEs214.直线a//直线b，直线a与平面α相交，判定直线b与平面α的位置关系，并证明你的结论证明：假设直线b与α不相交，则bα或b//α(1)若bα，由a//b，bα，aαa//α，与a与平面α相交矛盾，故bα不可能。(2)若b//α，又a//b，a，b可以确定平面β，设α∩β＝c，由cα,知b与c没有公共点，又b、c同在平面β内，故b//c，又a//b，故a//c，cα，aαa//α，这与a与平面α相交矛盾。故b不平行α。综上所述，b与α必相交。215.如图2－22：在长方体AC1中，（1）求证：BC1//平行平面AB1D1（2）若E、F分别是D1C，BD的中点，则EF//ADD1A1解析：（1）∵D1C1//DC//AB∴ABC1D1是平行四边形BC1//AD1又BC1平面AB1D1，又AD1平面AB1D1BC1//平面AB1D1（2）证明：连结AF、CF、AD1，∵ABCD是正方形，且F是BD的中点，知A、F、C三点共线，且F是AC的中点，又E是CD1的中点∴EF//AD，又EF平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，∴EF//平面ADD1A1216.在正方体木块ABCD－A1B1C1D1的表面上有一动点P由顶点A出发按下列规则向点C1移动；⑴点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动；⑵点P每一变化位置，都使P点到C1点的距离缩短。动点P共有_________种不同的运行路线。解析：通过画图逐一计数，共得12种不同路线（从B到C1，就有3种不同路线）经过一条边，一条对角线的情况有6种，1CBA，11CAA，1CDACBADFEA1D1C1图2－22B1自助家教网海量教学资源，免费下载11CBA，1CCA，11CDA经过三条边的情况有6种：11CBBA，1CCBA，1CCDA11CDDA，111CBAA，111CDAA217.判定下列命题的真假（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图2－55，正方体AC1中，平面AC⊥平面AD1，平面AC∩平面AD1＝AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1⊥AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面内这一条件的重要性；（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图2－56，在正方体AC1中，平面AD1⊥平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且AB⊥AD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；（3）如图2－56：正方体AC1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为60，即AD1与AC不垂直解：由上面的分析知，命题⑴、⑵、⑶都是假命题