高中立体几何模拟题(附答案)

第1页（共37页）高中立体几何模拟题一．选择题（共9小题）1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．A．3B．2C．1D．02．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）3．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A．2B．﹣4C．﹣2D．44．已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）5．若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）A．17或﹣1B．﹣17或1C．﹣1D．1第2页（共37页）6．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）A．（﹣1，﹣2，5）B．（﹣1，1，﹣1）C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）7．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2）C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）10．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．11．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是．12．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，第3页（共37页）点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是．三．解答题（共18小题）13．如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．（Ⅰ）求证：EG∥平面ABF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积；（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．14．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点．（1）求证：平面AB1D⊥平面B1BCC1；（2）求证：A1C∥平面AB1D．15．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D﹣ABC的表面积．第4页（共37页）16．三棱锥S﹣ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC且AC=2，BC=，SB=．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC．17．如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）PA∥平面BDE；（2）BD⊥平面PAC．18．如图，在四棱锥V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD第5页（共37页）（1）证明：AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PAC的体积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；（Ⅱ）求证：BD⊥FG．21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点．（I）求证：CA1⊥C1P；（II）若四面体P﹣AB1C1的体积为，求二面角C1﹣PB1﹣A1的余弦值．第6页（共37页）22．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点．（Ⅰ）求证：PB⊥DM；（Ⅱ）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．24．在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：BD⊥EG；（3）求二面角C﹣DF﹣E的正弦值．第7页（共37页）25．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．26．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M第8页（共37页）﹣BQ﹣C的大小．28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．29．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN=．（Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．30．如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；第9页（共37页）（Ⅱ）求二面角A﹣PF﹣E的正切值．第10页（共37页）2017年03月25日1879804507的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2016春•孝感期末）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，﹣y，z）；②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，﹣y，﹣z）；③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，﹣y，z）；④点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．A．3B．2C．1D．0【解答】解：P关于x轴的对称点为P1（x，﹣y，﹣z）；关于yOz平面的对称点为P2（﹣x，y，z）；关于y轴的对称点为P3（﹣x，y，﹣z）；点P关于原点对称的点的坐标是P4（﹣x，﹣y，﹣z）．故①②③错误．故选C．2．（2015秋•石家庄校级期末）空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3）C．（5，﹣2，1）D．（﹣5，2，﹣1）【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，第11页（共37页）∴=，，=．∴=﹣==[（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]==（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．3．（2015•邹城市校级模拟）设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A．2B．﹣4C．﹣2D．4【解答】解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，∵α∥β，由题意可得，∴k=4．故选：D．4．（2014秋•越城区校级期末）已知=（3，﹣2，﹣3），=（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）【解答】解：∵与的夹角为钝角，∴cos＜，＞＜0．且与不共线∴•＜0．且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣1，x﹣1，1）第12页（共37页）∴﹣3﹣2（x﹣1）﹣3＜0．且x≠∴x的取值范围是（﹣2，）∪（，+∞）．故选B．5．（2014秋•从化市校级期末）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为（）A．17或﹣1B．﹣17或1C．﹣1D．1【解答】解：∵，，，cos60°=．∴，化为λ2+16λ﹣17=0，解得λ=﹣17或1．故选B．6．（2015春•济南校级期中）设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）A．（﹣1，﹣2，5）B．（﹣1，1，﹣1）C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）【解答】解：∵（﹣1，1，﹣1）•（1，2，1）=﹣1+2﹣1=0，（﹣1，1，﹣1）•（﹣1，1，2）=1+1﹣2=0，∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量．故选B．7．（2016秋•兴庆区校级期末）若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2）C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）【解答】解：∵（2，﹣4，4）=2（1，﹣2，2），∴向量（2，﹣4，4）与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．故选C．第13页（共37页）8．（2015•株洲一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．9．（2015•广西模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）A．B．C．D．【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF．因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以ED∥BF．第14页（共37页）过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得∠FBG即为所求的角．因为AB=1，AC=2，BC=，所以∠ABC=，∠BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以∠FBG=∠BCA=．故选A．二．填空题（共3小题）10．（2016秋•碑林区校级期末