空间向量的数量积-最完美版

空间向量的数量积运算SFW=|F||s|cos根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.回顾一复习引入已知两个非零向量,作,则叫做向量的夹角.OAa,abOBb(0180)AOBab与已知两个非零向量,它们的夹角为,我们把叫做向量的数量积,记做,即=.,ab|a||b|cosabab|a||b|cos,ab1向量的夹角:abOABab2平面向量数量积:(1)aeea|a|cos(2)abab0ab(4)cosab3平面向量数量积的性质22(3)|a|aaa4平面向量数量积的运算律(1)abba（交换律）(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc（分配律）（数乘结合律）二新课因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个向量共面.因此，平面中两个向量的夹角及数量积等相关概念、性质可以推广到空间.1)两个向量的夹角的定义:OABaabb如图,已知两个非零向量、ab,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作:,ab.⑴范围:0,ab≤≤.,ab=0时,ab与同向;,ab=π时,ab与反向.⑵,,abba＝，⑶如果,2ab,则称a与b垂直,记为ab知新类似地，可以定义空间向量的数量积两个向量的夹角是惟一确定的！角度表示〈a,b〉=0〈a,b〉是锐角〈a,b〉是直角〈a,b〉是钝角〈a,b〉=π思考：下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？ba,===2）两个向量的数量积注:（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量.（2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零.（3）点乘符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.C'D'B'A'CDABAA'AD'AA'AA'CC'AA'C'BDB◆练习已知正方体AC'边长为1,求：a，b|a||b|cosa,b|a||b|cosa,ba，babab数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。aba||aba||cosbθB1BOAabbababa,cos几何意义显然,对于非零向量、ab,e是单位向量有下列性质:①cos,aeaae；②0;abab③2aaa也就是说2aa.3)空间两个向量的数量积性质注：性质②是证明两向量垂直的依据；性质③是求向量的长度（模）的依据.4)空间向量的数量积满足的运算律⑴()()abab⑵abba(交换律)⑶()abcabac(分配律)注：向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。如果不能，请举出反例能得到吗？由,对于三个均不为0的数a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量,,abcbacacb.不能，例如向量与向量都垂直时，有而未必有acb,,caba.cb不能，向量没有除法.对于三个均不为0的数若则对于向量若能否写成也就是说向量有除法吗？,,,cba,cab).(acbbca或,,bakba?)(akbbka或不成立，左边是一个与向量c共线的向量，右边是一个与向量a共线的向量，而向量c与a连是否共线都是一个未知数.对于三个均不为0的数对于向量成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？,,,cba).()(bcacab若,,,cba)()(cbacba222222)()()()3)()()4)()abcabcpqpqpqpqpq1.222,,22abab已知,则ab与的夹角大小为_____.2.判断真假:1)若0,ab则0,0ab()1353.设a,b,c是任意的非零空间向量,且相互不共线,则：①(a·b)c(c·a)b=0②|a|-|b||ab|③(b·c)a(c·a)b不与c垂直④(3a+2b)·(3a2b)=9|a|2-4b2中,真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④DADFCBE1(2)(3)(4)图间边条边对线长点别点计（）3.如：已知空四形的每和角都等于1，、分是、的中。算：ABCDEFABADEFBAEFBDEFDCEFAC4.小结：空间两个非零向量ab、的数量积ab:cos,ababab①22||aa即2||aa(求线段的长度);②ab0ab(垂直的判断);③cos,ababab(求角度).以上结论说明,可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题.也有下列三个重要性质：abab,ab