第四章 根轨迹2

1例4-10已知系统的开环传递函数为试绘制以时间常数T为可变参数的根轨迹。解⑴系统的特征方程或用除等式两边得)1s)(1Ts(s2)s(H)s(G02)1s)(1Ts(s02ss)1s(Ts222ss202ss)1s(Ts1222令（4-35）则有（4-36）称为系统的等效开环传递函数。在等效开环传递函数中，除时间常数T取代了普通根轨迹中开环根轨迹增益的位置外，其形式与绘制普通根轨迹的开环传递函数完全一致，这样便可根据绘制普通根轨迹的七条基本规则来绘制参数根轨迹。2)1()()(22sssTssHsG0)()(1sHsG)s(H)s(GrK)1)(/1(/2)()(sTssTsHsG3⑵系统特征方程的最高阶次是3，由规则一和规则二知，该系统有三条连续且对称于实轴的根轨迹，根轨迹的终点(T=∞)是等效开环传递函数的三个零点，即z1=z2=0,z3=-1；本例中，系统的等效开环传递函数的零点数m=3,极点数n=2，即m＞n。在前面已经指出，这种情况在实际物理系统中一般不会出现，然而在绘制参数根轨迹时，其等效开环传递函数却常常出现这种情况。2ss)1s(Ts)s(H)s(G224与n＞m情况类似，这时可认为有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处（无限极点）。因此，本例的三条根轨迹的起点(T=0)分别为:p1=-0.5+j0.866,p2=-0.5-j0.866，和无穷远处（无限极点）。由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上-1至-∞线段。由规则六可求出两个起始角分别为3090120120601801p3012pp5.0866.0arctan6005由规则七可求出根轨迹与虚轴的两个交点，用代入特征方程得由此得到虚部方程和实部方程分别为解虚部方程得的合理值为，代入实部方程求得秒，所以为根轨迹与虚轴的两个交点。js02123jω)ω(TjTω0)1T(20T23T1c1Tc1c特征方程为：02)1(23ssTTs6由Routh判据也可求出根轨迹与虚轴的两个交点特征方程为：02)1(23ssTTs列劳斯表如下S3T1S2T+12S1(1－T)/20S02令(1-T)/2=0解得T＝1利用s2行构造辅助方程：(T+1)s2+2=2s2+2=0求得：s=±j7[s]j)(1Tz)(2Tz0)0(2Tp1)0(pT1p2pT012060-1-0.53)(zT1)1(jTc)1(1cTj90图4-14例4-10系统的根轨迹图8由根轨迹图可知，时间常数T=Tc=1秒时，系统处于临界稳定状态，T1秒时，根轨迹在S平面右半部，系统不稳定。由此可知，参数根轨迹在研究非开环根轨迹增益Kr对系统性能的影响是很方便的。由上面的例子，可将绘制参数根轨迹的方法归纳为下述两个步骤：⑴先根据系统的特征方程求出系统的等效开环传递函数，使与绘制普通根轨迹的开环传递函数有相同的形式，即0)s(H)s(G1)s(H)s(G)s(H)s(G9其中为除开环根轨迹增益Kr以外的任何参数，它是绘制参数根轨迹的可变参数。⑵根据绘制普通根轨迹的七条基本规则和等效开环传递函数绘制出系统的参数根轨迹。)s(H)s(GrKn1iim1jjr)ps()zs(K)s(H)s(G（4-37）（注：此处的零极点是等效开环传递函数的零极点）10二正反馈系统的根轨迹正反馈系统的特征方程是（4-38）即（4-39）由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件分别为（4-40）（4-41）与负反馈系统根轨迹的幅值条件和相角条件相比知，正反馈系统和负反馈系统的幅值条件相同；0)s(H)s(G11)s(H)s(G1)s(H)s(G),2,1,0k(360k0)s(H)s(G11负反馈系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反馈系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同，在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中与相角条件有关的三条规则作相应修改，这些规则是：⑴正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角应为)1mn,,2,1,0k(mnk2a（4-42）12⑵正反馈系统在实轴上的根轨迹是那些在其右侧的开环实零点和开环实极点的总数为偶数或零的线段。⑶正反馈系统的起始角和终止角应为下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹的绘制方法。nliiilmjjlpppzpl11)()(0mljjjlnjjlzzzpzl11)()(013例4-11已知正反馈系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。解：由系统的开环传递函数与例4-7相同。由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是由0至+∞线段和由-1至-2线段。由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向的夹角分别是0°（k=0）、120°（k=1）和-120°（k=2）。)2)(1()()(sssKsHsGr14在例4-7中，由规则五求出的极值方程的解有两个，即d1=-0.42和d2=-1.58，对于例4-7的负反馈系统，d1是根轨迹与实轴交点的合理值，因为它是实轴上根轨迹上的一点；d2不在实轴的根轨迹上，故在例4-7中被舍去。这种情况在本例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的根轨迹改变了，d2=-1.58在实轴的根轨迹上，它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值，而d1=-0.42不在实轴的根轨迹上，应舍去。由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分离点时，应考虑规则三变化的影响。15本例无共轭复数开环零、极点，不存在起始角和终止角问题，根轨迹与虚轴也无交点。本例的根轨迹如图4-16所示。由图4-16可看出，三条根轨迹中，有一条从起点到终点全部位于S平面右半部，这就意味着无论Kr为何值，系统都存在S平面右半部的闭环极点，该正反馈系统总是不稳定的。而有相同开环传递函数的负反馈系统(例4-7，图4-1l)，它的临界根轨迹增益Krc=6，即当kr＞6时系统是不稳定的，当Kr＜6时系统是稳定的。16[s]j1)0(PKrrK0120120-1rKrK3)0(PKr)0(2rKP-22d图4-16正反馈系统的根轨迹17三非最小相位系统的根轨迹所谓非最小相位系统，是指那些在S平面右半部有开环极点和（或开环零点）的控制系统。所有开环零点和极点都位于S平面左半部的系统叫最小相位系统。本章前面介绍的示例都是最小相位系统。非最小相位系统一词源于对系统频率特性的描述，即在正弦信号的作用下，具有相同幅频特性的系统（或环节），最小相位系统的相位移最小，而非最小相位系统的相位移大于最小相位系统的相位移。18例4-12已知负反馈系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。解该系统有一位于s平面右半部的开环极点（p2=1），是非最小相位系统。系统特征方程的最高阶次是4，由规则一、二知该系统有四条连续且对称于实轴的根轨迹。四条根轨迹的起点分别是它的四个开环极点:)2s2s)(1s(s)1s(K)s(H)s(G2r0p11p21j1p31j1p419根轨迹的一个终点是有限开环零点，即z1=-1，其余三个终点均在无穷远处（无限零点）。由规则四知，根轨迹的三条渐近线与实轴的交点为渐近线与实轴正方向的夹角分别是60°(k=0),180°(k=1)和-60°(k=2)。011mnZPmjjniia)2s2s)(1s(s)1s(K)s(H)s(G2r20由规则三知，实轴上的根轨迹是由0至1线段和-1至-∞线段。由规则五的分离点方程可求出根轨迹与实轴的交点，即由方程得d4+2d3+d2-2/3=0，解方程得到4个根分别为d1=0.55，d2=-1.55，d3,4=-0.5±j0.75,显然，d1和d2为根轨迹与实轴交点的合理值，即d1和d2为根轨迹的分离点。01)22)(1(2dssssssdsd21由规则六可求出共轭复数极点p3和p4的起始角分别为根轨迹与虚轴无交点。该系统的根轨迹如图4-17所示。该非最小相位系统除了有位于s平面右半部的开环零、极点外，其绘制根轨迹的规则和步骤与最小相位系统完全相同。需要指出的是，如果非最小相位系统是正反馈系统，在绘制根轨迹时应遵循前面介绍的0°相角条件。6.108904.153135901803p6.10834pp22j[s])(1rKZ)0(2rKP)0(3rKP-102d1drKrK1)0(4rKP3P4PrK)0(1rKP图4-17非最小相位系统的根轨迹23若某负反馈系统的开环传递函数为)0,0()1()1()()(TTsssKsHsG0)1()1(1)1()1(1)()(1TsssKTsssKsHsG系统的特征方程为1)1()1(TsssK根轨迹方程与正反馈系统的一样，其幅值条件和相角条件分别为1)1()1(TsssKkTsss2)1()1(24例4-13设具有单位正反馈系统的开环传递函数为)22)(3()2()()(2ssssKsHsGr试绘制该系统的根轨迹图。（1）系统的开环零极点分布为3,1,1,23211pjpjpz有三条根轨迹分支，实轴上的根轨迹（-，-3]，[-2，）。（2）根轨迹的渐近线（n-m)=2条，渐近线夹角000180,0131802ka5.113)2(311jja25000006.71)906.26(45)9021(arctan1arctan1p（3）确定出射角（4）确定分离点8.00)24.67.4)(8.0(111131212ddddjdjddd06.712p10j23jj1p2p8.0（5）确定临界开环增益，显然根轨迹过坐标原点，坐标原点对应的开环增益为3232)2(0)3(0)1(0)1(0jjKrc26若某负反馈系统的开环传递函数为)0,0()1()1()()(TTsssKsHsG0)1()1(1)1()1(1)()(1TsssKTsssKsHsG系统的特征方程为1)1()1(TsssK根轨迹方程与正反馈系统的一样，其幅值条件和相角条件分别为1)1()1(TsssKkTsss2)1()1(27例4-14设飞机的纵向运动时的开环传递函数为)0,01()2()()()(222BAsssBAssKsHsGnnr试绘制飞机纵向运动的根轨迹图。23,222222221002/)4(,02/)4()2())(()2()()()(1nnnnrnnrjppBAAbBAAasssbsasKsssBAssKsHsG（1）开环传递函数中具有右半s平面的零点，开环系统为非最小相位系统。28（2）开环系统传递函数具有负号，相当于是具有正反馈性质。)2())(()()(2211nnrsssbsasKsHsG0jnab21nj令294.4线性系统的根轨迹分析法自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定，其动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先要解决的问题。解决的方法之一，是