第四章 根轨迹分析法3_2

3.正反馈系统的根轨迹的绘制闭环传函闭环特征方程正反馈系统的根轨迹方程实轴上的根轨迹渐近线与实轴的夹角出射角、入射角注释：负反馈系统的根轨迹称为常规根轨迹或180°根轨迹正反馈系统的根轨迹称为零度根轨迹绘制正反馈系统的根轨迹时，前面介绍过的10条法则中，有3条与相角方程有关的法则，要作如下相应的修改，其余7条法则对正、负反馈系统则是相同的。（1）实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹区段的右侧实轴上，开环零点和极点数目之和应为偶数。（2）根轨迹的渐近线：渐近线与实轴的交点σa常规根轨迹相同渐近线与正实轴的夹角应改为θ=±180°2k/(n-m)k=0,1,2…(3)根轨迹的出射角和入射角：离开开环极点-pa时的出射角改为a=-离开开环零点-zb时的入射角改为b=-iijjajjii正反馈系统的根轨迹与负反馈系统的根轨迹是互补的-6-4-202-10-50510RealAxisImagAxis-6-4-202-10-50510RealAxisImagAxis-4-202-202-4-202-3-2-10123例4-20设单位正反馈系统的开环传递函数为试绘制Kg由变化时的根轨迹。解：根据正反馈系统根轨迹的有关法则知：（1）系统有1个零点-z=-2，2个极点-p1,2=-1±j。共有2条根轨迹分支，由-p1,2出发。（2）在开环复数极点-p1上根轨迹的出射角按式（4-52）得同理，-p2上根轨迹的出射角为2(2)()22gkKsGsss1112()()459045pzpp0452（3）求根轨迹在实轴上的会合点令计算N’(S)D(S)-N(S)D’(S)=0，得(s2+2s+2)-(s+2)(2s+2)=0经整理后有S2+4s+2=0解之得s1,2=-0.59,-3.41（舍去）所以，会合点出现于负实轴上-0.59处，根轨迹的会合角为2(2)()()22()kggsNsGsKKssDs00180902d（4）实轴根轨迹存在于[－2，+）的区段。根轨迹两分支会合后，一条终止于开环零点－z＝－2处，另一条经坐标原点一直往右趋于无穷远处。其实这是2个极点、1个零点的问题，前面已证明过根轨迹呈圆弧状，圆心在－2处，半径为R＝。故用圆规可迅速绘出，再加上实轴根轨迹即可。2极点在左半平面系统稳定系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关极点越靠近虚轴，动态性能越差零点的加入可以使调节时间缩短稳态误差与系统的无差度和开环放大系数有关其中，ai为对应极点的留数。从而系统的时间响应为假设n阶系统的闭环传递函数jjnjnjjmiipsasaspszsKsssC10111)()(1)()(则系统在单位阶跃信号作用下的输出表达式可用部分分式展开成njjmiipszsKs11)()()(零点位置对阶跃响应的影响1.画出系统的根轨迹图2.在根轨迹上确定闭环零、极点的位置3.根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能用根轨迹法分析控制系统的步骤:根轨迹图可以直观地看到闭环系统极点的分布如何找出想要的闭环极点？如何分析系统性能？闭环零点的分布？加入开环零极点对根轨迹位置的影响？§4.4求取闭环系统零、极点的方法7gK1.求取闭环系统极点的方法绘出系统的根轨迹图作出等阻尼线β=arccosς,求出与根轨迹的交点。此交点为闭环系统的一个极点由根轨迹的对称性可等到闭环系统的另一个极点由闭环系统极点和开环系统极点之间的关系可得到闭环系统的其他极点例4-22已知单位反馈系统的开环传递函数为试应用根轨迹法求取具有阻尼比ξ＝0.5的共轭闭环主导极点和其它的闭环极点，并估算此时系统的性能指标。解：将开环传递函数改写成零、极点的形式得式中，Kg=4K，K为开环放大系数，Kg为根轨迹增益。()(1)(0.251)kKGssss4()(1)(4)(1)(4)gkKKGsssssss图4-30为当Kg＝变化时的根轨迹。其中实轴上[-1,0]以及（－，-2]是根轨迹区段，实轴上根轨迹的分离点落在（－0.465，j0）处。两条根轨迹与虚轴有交点，交点处对应的临界增益Kgp＝20。当K5时，根轨迹引伸至右半s平面，表明系统具有一对实部为正数的共轭复根，此时系统不稳定。因此，为使系统稳定，开环传递系数的取值范围应是0K5。为了确定满足ξ＝0.5条件时系统的3个闭环极点，首先作出ξ＝0.5的等阻尼线OA，它与负实轴的夹角为0arccosarccos0.5600如图4-30的点划线所示。等阻尼线OA与根轨迹的交点即为相应的闭环极点－s1，－s1＝－0.40＋j0.69另一共轭复数极点为－s2＝－0.4－j0.69.再根据闭环极点之和等于开环极点之和的法则－s1－s2－s3＝－p1－p2－p3可求得对应的第三个闭环极点为－s3＝（0－1－4）－（－0.4＋j0.69－0.4－j0.69）＝－4.20根据根轨迹方程的幅值条件可得对应于-s1点的根轨迹增益为其对应的开环传递系数K＝0.675。在所求得的3个闭环极点中，极点-s3（实数极点）与极点-s1（或－s2）的模值之比111213gKspspsp0.400.690.400.6910.400.694jjj0.800.923.672.704.205.250.80可根据由－s1、－s2所构成的二阶系统来估算本例的三阶系统的性能指标。该二阶系统的阻尼比ξ＝0.5，而自然振荡频率ωn为在单位阶跃函数作用下，系统的动态性能指标为220.400.690.80n337.5()0.50.80snts22/10.53.14/10.50016.300ee系统的静态误差系数可按第三章的有关公式直接由开环传递函数计算获得，即因为系统属І型系统，所以在位置阶跃输入作用下无稳态误差，而在单位斜坡给定信号作用下的稳态误差为00020lim()lim(1)(0.251)lim()0.675lim()0pkssvksaksKKGssssKsGsKKsGs1111.4810.675ssveKK()(1)(0.251)kKGssss（1）单位反馈系统的闭环零点设单位反馈系统的开环传递函数为式中，－zi为开环零点；－pj为开环极点。则系统的闭环传递函数为11()()()mgiinjjKszGssp2.求取闭环系统零点的方法单位反馈系统的闭环零点等于开环传递函数的零点。111()()()1()()()mgiinmjgijiKszGssGsspKsz设非单位反馈系统的结构图如图4-31所示。H(s)×R(s)C(s)图4-31非单位反馈系统结构图G（s）非单位反馈系统的闭环零点1111()()()mgiinjjKszGssp2211()()()mHkknllKszHssp则系统的闭环传递函数为121212111111()()()()()()mngililnnmmjlgHikjlikKszspspspKKszsz非单位反馈系统的闭环零点由前向通道的零点－zi和反馈通道的极点－pl所组成。111212111111()()()()1()()()()1()()mgiinjjmmgiHkiknnjljlKszspGssGsHsKszKszspsp)(sG(s)的极点与H(s)的零点相抵消情况下的闭环极点G(s)1/H(s)×R(s)C(s)图4-32非单位反馈系统等效结构图H(s)×R(s)C(s)图4-31非单位反馈系统结构图G（s）例如，在图4-33所示的含有速度反馈的系统，其闭环传递函数为闭环特征方程为这是三阶方程，表明闭环系统应有3个闭环极点。()()(1)(2)(1)ggKCsRssssKs[(2)](1)0gssKs(472)对控制系统的基本要求是：闭环系统要稳定；动态过程的快速性、平稳性要好；稳态误差要小。（1）要系统稳定，则全部闭环极点均应分布在s平面的左半部。系统稳定与否，和闭环零点的位置无关。（2）要系统快速性好，则闭环极点均应远离虚轴，以便使阶跃响应中的每个分量都衰减的更快。（3）要系统的平稳性好，最佳阻尼系数（ζ=0.707）。（4）离虚轴最近的闭环极点对系统的动态过程性能影响最大，起着决定性的主导作用，故称为主导极点。（5）闭环零点的存在，可以削弱或抵消其附近闭环极点的作用。当某个零点和某个极点非常接近时，它们便称为一偶极子。偶极子靠的越近，则抵消作用越强。3.闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系1.画出系统的根轨迹图2.在根轨迹上确定闭环零、极点的位置3.根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能用根轨迹法分析控制系统的步骤:7gK7gK根轨迹图可以直观地看到闭环系统极点的分布如何找出想要的闭环极点？如何分析系统性能？闭环零点的分布？加入零极点对根轨迹位置的影响？(校正问题)7gK7gK§4.5增加开环零、极点对根轨迹的影响（1）改变了根轨迹在实轴上的分布（2）改变了根轨迹近线的条数、倾角及截距（3）可通过加入一个零点，构成开环偶极子，抵消有损于系统性能的极点（4）根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能，而且所加的零点越靠近虚轴，则影响越大1.增加开环零点对根轨迹的影响（1）改变了根轨迹在实轴上的分布。（2）改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距（3）改变了根轨迹的分支数（4）根轨迹曲线将向右偏移，不利于改善系统的动态性能，而且所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就越大。2.增加开环极点对根轨迹的影响例4-23已知某系统的开环传递系数为若给此系统增加一个开环极点－p＝－2，或增加一个开环零点－z＝－2。试分别讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。()()(1)gKGsHsss解：依据根轨迹的绘制法则，绘制出的根轨迹如图4-36所示。jωσ0-0.5-1(a)σjω0-0.422-1-2(b)σjω-1-0.583-20(c)(a)原系统根轨迹；（b）增加极点后的轨迹；（c）增加零点后的轨迹图a为原系统的根轨迹；图b为增加极点后的根轨迹；图c为增加零点后的根轨迹。()(1)gkKGsss()(1)(2)gkKGssss(2)()(1)gkKsGsss增加极点后根轨迹及其分离点都向右偏移增加零点后使根轨迹及其分离点都向左偏移增加开环极点对系统动态性能是不利的增加开环零点的效应恰恰相反在工程设计中，常采用增加零点的方法对系统进行校正例4-24单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。2()(10)gkKGsss（1）开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益没有影响。（2）若开环偶极子位于s平面原点附近，则由于闭环主导极点离坐标原点较远，故它对系统主导极点的位置及增益均无影响。但是开环偶极子显著影响系统的稳态误差系数，从而在很大程度上影响系统的静态性能.3.增加开环偶极子对根轨迹的影响作业：P1884-54-64-84-10