2013届高考理科数学一轮复习课件：5.3 平面向量的数量积

高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研第3课时平面向量的数量积高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角．5.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2012·考纲下载高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一.请注意！高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研1．数量积的有关概念①两个非零向量a与b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则.叫做向量a与b的夹角；范围是.②a与b的夹角为度时，叫a⊥b.③若a与b的夹角为θ，则a·b＝.④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.∠AOB＝θ0°≤θ≤180°90|a|·|b|cosθx1x2＋y1y2高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研⑤a在b的方向上的投影为.⑥若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝，cosθ＝.a⊥b⇔.a∥b⇔.|a|cosθx21＋y21x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2＝0x1y2－x2y1＝0高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研2．数量积满足的运算律：已知向量a、b、c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b＝；②(λa)·b＝λ(a·b)＝；③(a＋b)·c＝；b·aa(λb)a·c＋b·c高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研3．注意①两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)．③a·b中的“·”不能省略．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研1．(课本习题改编)关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c.②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b.③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研⑤非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为______．(写出所有真命题的序号)．答案②③高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研解析①由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cosθ，若a·b＝a·c则|a|·|b|cosθ＝|a|·|c|cosφ，∴|b|·cosθ＝|c|cosφ即只要b和c在a上的投影相等，则a·b＝a·c.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研②中∵a·b＝|a|·|b|·cosθ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a、b为非零向量可得|cosθ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当a⊥b时，将向量a、b的起点确定在同一点，则以向量a、b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a、b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此命题③是真命题．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研④中当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|.故命题④是假命题．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研⑤如图②，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴△OAB为等边三角形，而a＋b＝OC→，∴a与OC→夹角为30°.失分警示解决向量问题常常要数形结合，a·b等于a乘以b在a方向上的投影，或等于b乘以a在b方向上的投影．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研2．(2011·大纲全国文)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A.2B.3C.5D.7答案B解析依题意得(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4a·b＝5＋4×(－12)＝3，则|a＋2b|＝3，故选B.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研3．(2011·湖北文)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4答案C高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研解析2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos2a＋b，a－b＝2a＋b·a－b|2a＋b|·|a－b|＝932×3＝22，故夹角为π4，选C.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研4．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12答案D解析∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研5．(2011·江西)已知两个单位向量e1，e2的夹角为π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.答案－6解析由题设知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e21－2e1·e2－8e22＝3－2×12－8＝－6.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研题型一平面向量数量积的运算例1(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【思路分析】根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10；若a与b反向，则它们的夹角为180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×32＝53.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研探究1(1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算．(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→＝________.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研【解析】高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研由于四边形ABCD为平行四边形，设O为AC与BD的交点，连接O点与DC的中点E，则AD→＝2OE→＝212AC→2＋BD→2＝12(AC→＋BD→)＝(－1,2)，所以AD→·AC→＝－1＋2×2＝3.【答案】3高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研思考题1(1)(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研【解析】由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke21＋e1·e2－2ke1·e2－2e21＝0，即k＋cos2π3－2kcos2π3－2＝0，化简可求得k＝54.【答案】54高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研(2)△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则AD→·BC→＝________.【思路分析】考查平面向量的基本定理及向量数量积运算．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研【解析】AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝13AC→＋23AB→，又∵BC→＝AC→－AB→，AC2→＝1，AB2→＝4，∴AB→·AC→＝2×1×cos120°＝－1，高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研∴AD→·BC→＝13(AC→＋2AB→)·(AC→－AB→)＝13AC2→－23AB2→＋13AC→·AB→＝－83，故填－83.【答案】－83高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研题型二向量的夹角例2(1)(2010·新课标全国)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研【解析】由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)，由a，b＝a·b|a||b|＝1665，故选C.【答案】C高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研(2)已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求：①a与b的夹角；②a－b与a＋b的夹角的余弦值．【思路分析】解决本题的关键是求|b|，|a－b|和|a＋b|的值，然后运用夹角公式求出．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研【解析】①∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝12，又∵|a|＝1，∴|b|＝22.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝121·22＝22，∴θ＝45°.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研②∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×12＋12＝12，∴|a－b|＝22.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a＋b|＝102.高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研设a－b与a＋b的夹角为φ，则cosφ＝a－b·a＋b|a－b|·|a＋b|＝1222×102＝55，∴cosφ＝55.【答案】(1)45°(2)55高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研探究2(1)求两向量夹角的方法一般是利用夹角公式：cosθ＝a·b|a|·|b|；(2)在解题过程中要注意等价转化．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研思考题2(1)(2011·安徽)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．【解析】设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.【答案】π3高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研(2)已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量a＋2b与a－b的夹角的余弦值．高考调研高三数学（新课标版·理）第五章第3课时高考调研【解析】a·b＝|a||b|cosa，b＝1.|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝12；|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3；(a＋2b)·(a－b)＝a2－2b2＋a·b＝3.∴向量a＋2b与a－b的夹角的余弦值cosθ＝a＋2b·a－b|a