理论力学-碰撞理论

第八章碰撞西北工业大学支希哲朱西平侯美丽动力学碰撞第八章碰撞§8–5碰撞对平面运动刚体的作用§8–4碰撞对定轴转动刚体轴承的作用·碰撞中心§8–3恢复系数§8–2碰撞时的动力学定理§8–1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞理论力学目录第八章碰撞§8-1碰撞现象及其基本特征碰撞现象碰撞问题基本特征几个基本假设第八章碰撞一、碰撞现象塑料碰撞是一种常见的力学现象。当物体在极短的时间间隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。榔头重一点好还是轻一点好？榔头把长一点好还是短一点好？§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞击球手的手握在哪里所受的撞击力最小？这与碰撞有关系吗？§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞工程中碰撞实例碰撞是一种常见的力学现象。当物体在极短的时间间隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞工程中碰撞实例§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞不成功的降落§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞碰撞是一种常见的力学现象。当物体在极短的时间间隔内速度发生急剧的改变时就发生碰撞。工程中碰撞实例§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞工程中碰撞实例飞行员座椅弹射装置§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞工程中碰撞实例汽车碰撞实物试验§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞汽车碰撞虚拟试验研究的问题：车体间的碰撞、人体与车体的碰撞、人体内脏的碰撞§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞工程中碰撞实例§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞这些都是碰撞现象吗？§8-1碰撞现象及其基本特征第八章碰撞例如，两直径25mm的黄铜球，以72mm/s的相对法向速度碰撞，碰撞过程的持续时间极短，通常用千分子一秒或万分之一秒来度量。碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。二、碰撞问题基本特征§8-1碰撞现象及其基本特征例如，用铁锤打击钢板表面。塑料力传感器接示波器碰撞时间只有0.0002秒。第八章碰撞§8-1碰撞现象及其基本特征锤重4.45N;碰撞前锤的速度457.2mm/s;碰撞的时间间隔0.00044s;撞击力峰值1491N，碰撞的物体间产生巨大的碰撞力。例如，用铁锤打击钢板表面。塑料力传感器接示波器若不小心砸到手上!碰撞的时间间隔0.01s;撞击力峰值244.8N，静载作用的335倍。静载作用的55倍。第八章碰撞§8-1碰撞现象及其基本特征由于碰撞过程是一个十分复杂的物理过程，要研究碰撞过程的动力学问题，必须进行适当的简化，略去次要因素，突出事物的本质，以获得较简单的力学模型。1.由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、弹性力等）的几百倍甚至几千倍，故平常力在碰撞过程中可以忽略不计。ω0CyvCIFINxAuCαβ注意：摩擦力是碰撞力时,不能忽略。三、几个基本假设第八章碰撞FmaxtFOt1t22.由于碰撞力随时间而变化，瞬时值很难测定。21dtttFI21dtttFI§8-1碰撞现象及其基本特征不考虑碰撞力在极小碰撞时间间隔Δt内的急剧变化，平均碰撞力的近似估计值可表示为tIFa因此，通常是用碰撞力在碰撞时间内的冲量来表示碰撞的强弱。这个冲量称为碰撞冲量。第八章碰撞3.碰撞时间非常短促，而速度是有限量，两者的乘积非常小，因此在碰撞过程中，碰撞物体的位移可以忽略不计。§8-1碰撞现象及其基本特征4.采用准刚体模型（局部变形的刚体）。物体的整个碰撞过程分为两个阶段。即可以认为碰撞前后物体的位置不变。参与碰撞的物体仍考虑为刚体，但在碰撞点的局部范围内可以允许变形，这样就忽略了弹性波在物体内部的传播。第八章碰撞§8-1碰撞现象及其基本特征变形阶段由两物体开始接触到两者沿接触面公法线方向相对凑近的速度降到零为为止。恢复阶段物体由于弹性而部分或完全恢复原来的形状，两物体重新在公法线方向获得分离速度，直到脱离接触为止。碰撞过程的两个阶段变形阶段恢复阶段nn第八章碰撞§8-2碰撞时的动力学定理用于碰撞过程的动量定理--冲量定理用于碰撞过程的动量定理矩--冲量矩定理第八章碰撞一、用于碰撞过程的动量定理--冲量定理上式表示了碰撞时质点系的冲量定理。即质点系在碰撞过程中的动量变化，等于该质点系所受的外碰撞冲量的矢量和。质点系的动量可以用质点系的总质量M与质心速度的乘积来计算，所以可以改写为其中vC和v'C分别是碰撞开始和结束时质心C的速度。上式称为碰撞时的质心运动定理。对于质点系有)e(immIvvii)e(iMMIvvCC§8-2碰撞时的动力学定理第八章碰撞xzyriMiO根据研究碰撞问题的基本假设，在碰撞过程中，质点系内各质点的位移均可忽略，因此，可用同一矢ri表示质点Mi在碰撞开始和结束时的位置。或者写成)()()(iOiOiOIMvMvMiimm全部内碰撞冲量之矩的总和恒等于零，所以只剩下外碰撞冲量的矩。iiiOvrvMiimm)(Iimivimiv'i)()()()e(iIMvMvMOiOiOmm二、用于碰撞过程的动量定理矩--冲量矩定理§8-2碰撞时的动力学定理质点对固定点的动量矩为碰前：iiiiiiIrvrvrmmiiiiOvrvMiimm)(碰后：所以对于整个质点系有第八章碰撞上面两式分别表示了碰撞时质点系对点（或对轴）的冲量矩定理，即在碰撞过程中，质点系对任一点（或任一轴）的动量矩的变化，等于该质点系所受到外碰撞冲量时对同一点（或同一轴）之矩的矢量和（或代数和）。由于碰撞过程中伴随有机械能损失，因此研究碰撞问题一般不用动能定理。冲量矩定理§8-2碰撞时的动力学定理)()()()e(ixixixMmMmMIvv)()()()e(iiimmIMvMvMOOO把上式投影到任一轴上，例如Ox上，则得xzyriMiOIimivimiv'i第八章碰撞§8-3恢复系数碰撞的分类恢复系数第八章碰撞设质量分别为m1和m2的两个光滑球作平动，两球质心的速度分别为v1和v2，且v1＞v2，在某瞬时发生正碰撞。先以两球为研究对象。考察整个碰撞过程，因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有22112211vvvvmmmm沿水平方向投影，得22112211vmvmvmvm碰撞结束时，两球仍作平动，其速度分别为v'1和v'2。C1C2nv1v2碰撞前C1C2nv'1v'2碰撞后§8-3恢复系数二、恢复系数第八章碰撞0)()(221121vvummmm沿水平方向投影，得0)()(221121vmvmumm从而求出212211mmvmvmu考察碰撞的第一阶段——变形阶段。用u表示变形结束时两球的公共速度。以两球为研究对象C1C2nv1v2碰撞前C1C2nu碰撞变形阶段结束时§8-3恢复系数因外碰撞冲量等于零，故由冲量定理，有第八章碰撞,1111Ivumm1222Ivumm沿水平方向投影，得,1111Ivmum1222Ivmum分别取两球为研究对象考察碰撞的第一阶段——变形阶段。C1v1uI'1C2I1v2u§8-3恢复系数由冲量定理，有x第八章碰撞,2111Iuvmm222Iuv2mm沿水平方向投影，得,2111Iumvm2222Iumvm恢复阶段与变形阶段碰撞冲量I2和I1的大小的比值，可以用来度量碰撞后变形恢复的程度，称为恢复系数，用e表示。现在考虑碰撞的第二阶段——恢复阶段。C2C1I'2I2v'1v'2uu§8-3恢复系数利用冲量定理，有x第八章碰撞消去u，得1112vuuvIIe利用式碰撞开始时相对速度时相对速度碰撞结束211212vvvvIIe恢复阶段与变形阶段碰撞冲量I2和I1的大小的比值，可以用来度量碰撞后变形恢复的程度，称为恢复系数，用e表示。,1111Ivmum1222Ivmum,2111Iumvm2222Iumvm即,22112211vmvmvmvm212211mmvmvmu§8-3恢复系数22vuuv第八章碰撞可以证明，对于一般碰撞，恢复系数向相对速度碰撞开始时接触点的法度时接触点的法向相对速碰撞结束e碰撞开始时相对速度时相对速度碰撞结束211212vvvvIIe两球正碰撞时的恢复系数为§8-3恢复系数nnnnvvvvIIe211212第八章碰撞大量的实验表明，恢复系数主要与碰撞物体的材料性质有关，可由实验测定。恢复系数一般都小于1而大于零（0＜e＜1），这时的碰撞称为弹性碰撞。物体在弹性碰撞结束时，变形不能完全恢复，动能有损失。理想情况e=1时，碰撞结束后，物体能完全恢复原来的形状，这种碰撞称为完全弹性碰撞。在另一极端情况e=0时，说明碰撞没有恢复阶段，即物体的变形不能恢复，碰撞结束于变形阶段，这种碰撞称为非弹性碰撞或塑性碰撞。§8-3恢复系数第八章碰撞§8-3恢复系数恢复系数测定一种最简单的测定恢复系数的方法如图所示。h1h2v1v'1nACB,211ghv212ghv211212vvvvIIe1112vvIIe12hhe第八章碰撞例题8-1两小球的质量分别为m1和m2，碰撞开始时两质心的速度分别为v1和v2，且沿同一直线，如图所示。如恢复系数为e，试求碰撞后两球的速度和碰撞过程中损失的动能。C1v1C2v2例题8-1§8-3恢复系数例题8-1第八章碰撞图示两球能碰撞的条件是。设碰撞结束时，二者的速度分别为和，方向如图所示。21vv1v2v22112211vmvmvmvm由恢复系数定义有2112vvvve联立（a）和（b）二式，解得)()1(2121211vvmmmevv)()1(2121222vvmmmevv解：（a）（b）C1C21v2v（c）v1v2§8-3恢复系数例题8-1根据动量守恒，有1.碰撞后两球的速度第八章碰撞11vv可见，当时，，。21vv22vv,21212222111vmvmT22221122121vmvmT在碰撞过程中质点系损失的动能为)(21)(21222222121121vvmvvmTTT以T1和T2分别表示此两球组成的质点系在碰撞过程开始和结束时的动能，则有),()1(2121211vvmmmevv)()1(2121222vvmmmevvC1C21v2vv1v2（d）§8-3恢复系数例题8-12.碰撞过程中的动能损失第八章碰撞（d）),()1(2121211vvmmmevv)()1(2121222vvmmmevv考虑到2112vvvve于是有2212212121)()1()(2vvemmmmTTT§8-3恢复系数例题8-1)(21)(21222222121121vvmvvmTTT第八章碰撞在理想情况下，e=1,ΔT=T2－T1=0。可见，在完全弹性碰撞时，系统动能没有损失，即碰撞开始时的动能等于碰撞结束时的动能。221212121)()(2vvmmmmTTT如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即v2=0，则动能损失为21212121)(2vmmmmTTT在塑性碰撞时，e=0，动能损失为2212212121)()1()(2vvemmmmTTT§8-3恢复系数例题8-1第八章碰撞可见，在塑性碰撞过程中的动能损失与两物体的质量比有关。注意到上式可改写为,212111vmT12112122111TmmTmmmTTT2112122121)(vmmmmTTT21212121)(2vmmmmTTT上式可改写为§8-3恢复系数例题8-1第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止，即v2=0，则动能损失为第八章碰撞AvoAv0§8-3恢复系数思考题(a)(b)图(a)、(b)中各球完全相等，摩擦不计。球A以水平速度