理论力学_动能定理例题

1[例2]均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象)cossin2(cossin2)(fSmgmgSfSmgWF222221212121210mrmvmvTT2)cossin2(cossin2)(fSmgmgSfSmgWF222221212121210mrmvmvTT运动学关系：rv2245mvT由动能定理：)cossin2(0452fmgSmv对ｔ求导，得gfa)cos52sin54(3[例3]重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B'点时的速度及支座A的约束反力。解：（1）取圆盘为研究对象;0)(FmB00BBBI00B，圆盘平动。4（2）用动能定理求速度。取系统研究。初始时T1=0，最低位置时：22222121BAvgGIT221222163213121BBBvgGGvgGvgG)30sin)(2()30sin()30sin22(2121)(llGGllGllGWF)(12FWTT)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入数据，得m/s58.1'Bv5（3）用动量矩定理求杆的角加速度。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)()(eAAFmdtdL所以＝0。盘质心加速度：)0(22CnCCalaa)0(2'BnBBalaarad/s58.624.058.1'lvB杆质心C的加速度：6（4）由质心运动定理求支座反力。;0'21ABcixiXagGagGam代入数据，得N401,0AAYX2122212GGYlgGlgGamAiyi研究整个系统。相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心运动定理。可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析。7mLmvKC61])6(121[22LmmLILOO291mL22218121mLITO223mRLO2243mRTmRKmvK221mRLC2224121mRmvT[例4]基本量计算(动量,动量矩,动能)8解：取杆为研究对象，由动量矩定理：2312lPlgPlg2/3由质心运动定理：OCxXagP0PYPYlgPagPOOCy412[例5]均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及O处反力。（∵初瞬时杆的角速度0=0）9例题5均质圆轮A、B的质量均为m，半径均为R，轮A沿斜面作纯滚动，轮B作定轴转动，B处摩擦不计。物块C的质量也为m。A、B、C用无质量绳相联，绳相对B轮无滑动。系统初始为静止状态。试求：1．轮A、轮B之间的绳子拉力和B处的约束力；2．轮A与地面的接触点处的摩擦力。动力学普遍定理的综合应用10而BCRa故有CBaR取轮B和物块C组成的质点系为研究对象，分析受力，对点B应用动量矩定理，有Td()dBBCCCJmvRmgRFRt解：1．确定绳子拉力本例的条件与例题2相同。在例题2中已经求得6gaaAC例题5动力学普遍定理的综合应用B11Td()dBBCCCJmvRmgRFRtTBCJmRamgRFRR解得T23324BCCJFmgmamgmamgR例题5动力学普遍定理的综合应用B12解：2．确定B处的约束力对图示系统应用质心运动定理，有TTcos30cos60BBxCCxBxBByCCyByBCmamaFFmamaFFmgmgTT302122BxCByFFmaFFmg由此解得B处的约束力mgmgmgmgFmgmgFBxBx245324321618334323例题5动力学普遍定理的综合应用B13解：3．确定A轮与斜面之间的摩擦力取轮A为研究对象，分析受力，应用相对质心的动量矩定理，得到AAJFR注意到ACARaa于是，得到摩擦力211122612AAAamRJgRFmmgRR例题5动力学普遍定理的综合应用14本例小结：本例中几乎应用了三个定理的所有主要形式。还可以发现，每种问题的解法都并不是唯一的。这说明，对于具体问题，必须进行具体分析，没有统一的方法可循。例题5动力学普遍定理的综合应用15均质细长杆长为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。杆受微小干扰而倒下。求：杆刚刚到达地面时的角速度和地面的约束力。例题6动力学普遍定理的综合应用16解：杆在水平方向不受外力，且由静止倒下，则在倒下过程中其质心将铅直下落。由运动学知，P为杆的瞬心。例题6动力学普遍定理的综合应用vCCPA杆刚到达地面时，A点成为杆的瞬心，杆的的动能为：222221111()2236ATJmlml17例题6动力学普遍定理的综合应用vCCPA杆在滑倒过程中，只有重力作功。由动能定理，有0TW3gl22162lmlmg18例题6动力学普遍定理的综合应用AFNmgaCC杆刚到达地面时，受力及加速度分析如图。2NCNCmgFmalFJ2112CJml其中其中nCACACAaaaa由运动学知由刚体平面运动微分方程，得Aa水平，Ca铅直19例题6动力学普遍定理的综合应用AFNmgaCC其中nCACACAaaaa由运动学知Aa水平，Ca铅直将加速度矢量式向铅垂方向投影，得2CCAlaa联立以上诸式，可以解得4NmgF