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§13-1力的功时,正功;2时,功为零;2时,负功。2WFS一.恒力的功单位:焦耳(J):1J=1N1m力的功是代数量。二.变力的功δdWFr元功:变力F在曲线路程中作功为21MM21dMMWFrcosFSxyzFFiFjFk在直角坐标系中,知ddddrxiyjzk变力F在曲线路程中作功为21MM21dMMWFr三.合力的功221112d()dMMnMMWRrFFFr22211112dddMMMnMMMFrFrFrn21即在任一路程上,合力的功等于各分力功的代数和。21dddMxyzMFxFyFz1.重力的功2112()dzzWmgz对于质点系,重力作功为1212iWW故质点系重力的功,等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积,而与各质点的运动路径无关。0,0,xyzFFFmg取z轴铅垂向上,则:四.几种常见力的功12()iiimgzz12()CCMgzz12()mgzz设弹簧原长为l0,在弹性极限内,弹簧的刚度系数为k(使弹簧发生单位变形所需的力,单位:N/m),变形后长为r,沿矢径的单位矢量为0()rFkrle/rerr2112dMMWFrddrrerrr21120()drrWkrlr221212()2kW则故弹性力的功只与弹簧在始末位置的变形有关,与力作用点的路径无关。2.弹性力的功则110220,rlrl令:210()dMrMkrler1d()2rrr2120d()2rrkrl221020()()2krlrl21d()2rrdrδdWFr2112dzWM作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若Mz=常量,则1221()zWM如果刚体上作用的是力偶,则力偶所作的功仍可用上式计算,其中Mz为力偶对z轴的矩。设刚体绕z轴转动,在其上M点作用有力F,则3.定轴转动刚体上作用力的功其中Ft为力F在作用点M处的轨迹切线上的投影。dFRt于是力F在刚体从角1转到角2过程中作的功为dcosFRdzMδddRCCWFrM平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简化所得的力(主矢)与力偶(主矩)作功之和。4.平面运动刚体上力系的功首先可以证明,刚体上力系的全部力所作的元功之和为则刚体质心C由C1移到C2,同时刚体又由角1转到角2时,力系所作的功为221112ddCRCCCWFrM注意:以上结论也适用于作一般运动的刚体,基点也可以是刚体上任意一点(不一定取在质心)。[例1]质量为m=10kg的物体,放在倾角为=30º的斜面上,用刚度系数为k=100N/m的弹簧系住,如图示。斜面与物体间的动摩擦系数为f=0.2,试求物体由弹簧原长位置M0沿斜面运动到M1时,作用于物体上的各力在路程s=0.5m上的功及合力的功。0.2(109.80.866)0.58.5J(109.8)0.50.524.5J解:我们取物体M为研究对象,作用于M上的力有重力mg,斜面法向反力FN,斜面摩擦力F′和弹簧力F,各力所作的功为2212()2FkW合力的功为iWWosin30GWmgsN0FWFWFs2100(00.5)12.5J224.508.512.53.5Jocos30fmgs对任一质点系,若记vir为第i个质点相对质心的速度,则可证明有§13-2质点和质点系的动能221mvT动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是焦耳(J)。212iiTmv221122CiirTMvmv称为柯尼希定理物体的动能是由于物体运动而具有的能量,是机械运动强弱的又一种度量。一.质点的动能二.质点系的动能212PTJ记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为P,质心为C,则2211()22CJMd212iiTmv212iiTmv3.平面运动刚体三.刚体的动能1.平动刚体2.定轴转动刚体即平面运动刚体的动能,等于随质心平动的动能与绕质心轴转动的动能之和。212iCmv2212iimr212CMv212zJ221()2CJMd221122CCJMv[例2]滚子A的质量为m,沿倾角为的斜面作纯滚动,滚子借绳子跨过滑轮B连接质量为m1的物体,如图所示。滚子与滑轮质量相等,半径相同,皆为均质圆盘,此瞬时物体速度为v,绳不可伸长,质量不计,求系统的动能。221122CCCmvJBCCvrvr222222122111111222222vvTmvmrmvmrrr解:取滚子A、滑轮B、重物作为研究对象,其中重物作平动,滑轮作定轴转动,滚子作平面运动,系统的动能为根据运动学关系,有代入上式得2112mmv212BBJ2112Tmv2Clv221122CCTmvJ[例3]均质细长杆长为l,质量为m,与水平面夹角为30º,已知端点B的瞬时速度为vB,如图所示。求杆AB的动能。则杆的动能为解:滑杆作平面运动,其速度瞬心为P,角速度为质心速度为/2Bvl22221112212BBvmvmll223Bmv2BvlBv§13-3动能定理1.质点的动能定理d1dd()d2vmvtmvvt21dδ2mvW因此此即质点动能定理的微分形式。将上式沿路径积分,可得21MM2221121122mvmvW此即质点动能定理的积分形式。两边同时点乘,有ddvtrddddvmvtFrtddvmFt由牛顿第二定律有注意到21d2mv此即质点系动能定理的微分形式。对质点系中的任一质点i:21dδ2iiimvWdδiTW将上式沿路径积分,可得21MM2112()iTTW此即质点系动能定理的积分形式。21dδ2iiimvW对质点系,有2.质点系的动能定理即21dδ2iiimvW上式表明:质点系在某段运动过程中动能的增量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。1.光滑固定面2.固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端3.刚体沿固定面纯滚动(不计滚动摩阻)5.不可伸长的绳索、刚性二力杆(不计质量)绳拉紧时,内部拉力的元功之和恒等于零。δd0(d)WNrNrδd'dWNrNr3.理想约束及内力作功理想约束:约束力作功为零的约束。4.光滑铰链(中间铰)dd0NrNr下面考察质点系内力的功由上可知,刚体所有内力作功之和等于零。δd'dABWFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr注意:一般情况下,应用动能定理时要计入摩擦力作的功。若A、B两点间距离保持不变,则总之,应用动能定理时,要仔细分析质点系所有的作用力并确定其是否作功。应用动能定理的解题步骤:(见第六版教材P297~298)dδd0BABAFrWFr,。[例4]曲柄连杆机构如图示。已知曲柄OA=r,连杆AB=4r,C为连杆之质心,在曲柄上作用一不变转矩M。曲柄和连杆皆为均质杆,质量分别为m1、m2。曲柄开始时静止且在水平向右位置。不计滑块的质量和各处的摩擦,求曲柄转过一周时的角速度1。22222211221111(4)232212Cmmrmvr解:取曲柄连杆机构为研究对象,初始时系统静止,T1=0。曲柄转过一周,重力的功为零,转矩的功为2πM,代入动能定理,有22112OTJ11122CAvvr,212212)(61rmmT221211()026mmrM11223Mrmm由于则解得11244AvrABr2112TTW22221122CCmvJ曲柄转过一周后,连杆速度瞬心在B点,其速度分布如图b)所示,系统的动能为[例5]图示系统中,均质圆盘A、B各重P,半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶,重物D重Q。求下落距离h时重物的速度v与加速度a。(绳重不计,绳不可伸长,盘B作纯滚动,初始时系统静止。)2(87)16vQPg(/487)QMRhgvQP解:取系统为研究对象。12WQhM01T2212QTvg222221111322222ABQPPvRRggg2112TTW2(87)0()16vMQPQhgR(*)式求导得:87d216dQPvMvQvgtR8(/)87QMRgaQP由动能定理:解得:(2)ABvRR(/)hR212OAJ212CBJddhvt[例6]图示均质杆OA的质量为30kg,杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m,为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA',在铅直位置时的角速度0至少应为多大?解:取杆OA为研究对象,则全部力所作的功为:221211.2()2WPk221(309.8)1.23000[0(2.41.22)]2388.4(J)221011302.423T02T由动能定理21TTW20028.8388.403.67rad/s2028.8[例7]如图行星齿轮传动机构放在水平面内。动齿轮半径r,重P,可视为均质圆盘;曲柄重Q,长为l,作用一矩为M(常量)的力偶,曲柄由静止开始转动。求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度e。解:取整个系统为研究对象。10T222222111111123222QPPTlvrggg1,vl22222()624QlPPTllggg根据动能定理,得2229012QPlMg①PQgMl9232将①式对t求导数,得2)92(6lPQgMe222912QPlg11//vrlr[例8]两根匀质直杆组成的机构及尺寸如图,OA杆质量是AB杆质量的两倍,各处摩擦不计,如机构在图示位置从静止释放,求当OA杆转到铅垂位置时,AB杆B端的速度v。0.92(0.60.15)2Wmgmg10T222211120.9232Tmmv0.9v21TTW3.98m/sv解:取整个系统为研究对象,则全部力所作的功为:2256Tmv2501.356mvmg根据动能定理得1.35mg2222211112222Tmvmvmr[例9]匀质圆盘A:m、r;滑块B:m;杆AB:质量不计,平行于斜面。斜面倾角,摩擦系数f,圆盘作纯滚动,系统初始静止。求:滑块的加速度。解:选系统为研究对象,当下滑S时:2sincosiWmgSfmgS10T运动学关系:rv2254Tmv由动能定理有:250(2sincos)4mvmgSf将上式两边对t求导,得2(2sincos)5afg(2sincos)mgSf§13-4功率·功率方程·机械效率力在单位时间内所作的功称功率。它是衡量机器工作能力的一个重要指标。功率是代数量,并有瞬时性。δdWPtδdddWFrPtt作用在定轴转动刚体上的力的功率为:dδddzMWPtt功率的单位:瓦特(W)或千瓦(kW),1W=1J/s。一.功率注意到,则δdWFrFvFvtzM知质点系动能定理的微分形式为dδiTWδdddiWTtt首先
本文标题:理论力学动能定理
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