选修4-5证明不等式的基本方法

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练第二节证明不等式的基本方法菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考纲要求：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式．2．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[基础真题体验]考查角度[利用均值不等式证明不等式]1．(2014·课标全国卷Ⅰ)若a0，b0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.由于436，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．(2014·课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x＋1a＋|x－a|(a0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)5，求a的取值范围．【解】(1)由a0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－x－a＝1a＋a≥2.所以f(x)≥2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)5，得3a5＋212.当0a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)5，得1＋52a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考查角度[利用柯西不等式证明不等式]3．(2014·福建高考)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[命题规律预测]命题规律从近几年的高考试题看，利用基本不等式求最值和证明不等式是高考命题的热点，将绝对值不等式与函数相结合是命题的新动向．考向预测预测2016年高考仍会以基本不等式为载体，重点考查不等式的最值求法和证明不等式，难度不大.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向一不等式证明的基本方法[典例剖析]【例1】证明下列不等式：(1)若a≥b＞0，则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；(2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；(3)a6＋8b6＋127c6≥2a2b2c2.【思路点拨】(1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【证明】(1)3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)－2b2(a－b)＝(a－b)(3a2－2b2)．∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2＞0.因此(a－b)(3a2－2b2)≥0.故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)∵a2＋4b2≥2a2·4b2＝4ab，a2＋9c2≥2a2·9c2＝6ac，4b2＋9c2≥24b2·9c2＝12bc，∴2a2＋8b2＋18c2≥4ab＋6ac＋12bc.故a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(3)∵a6＋8b6＋127c6≥33827a6b6c6＝3×23a2b2c2＝2a2b2c2，∴a6＋8b6＋127c6≥2a2b2c2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练不等式证明的常用方法有：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式与柯西不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式．证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习]设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥3；(2)abc＋bac＋cba≥3(a＋b＋c)．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【证明】(1)要证a＋b＋c≥3，由于a，b，c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3，即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)≥3(ab＋bc＋ac)，即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.因为ab＋bc＋ca≤a2＋b22＋c2＋b22＋a2＋c22＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)，所以原不等式成立．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)abc＋bac＋cba＝a＋b＋cabc.在(1)中已证a＋b＋c≥3，因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a＋b＋c，即证abc＋bac＋cba≤ab＋bc＋ca.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练而abc＝abac≤ab＋ac2，bac＝abbc≤ab＋bc2，cba＝cbac≤cb＋ac2，所以abc＋bac＋cba≤ab＋bc＋ca(a＝b＝c＝33时等号成立)．所以原不等式成立．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向二放缩法证明不等式[典例剖析]【例2】求证：32－1n＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．【思路点拨】利用n(n＋1)＞n2＞n(n－1)(n≥2)及裂项求和法证明．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【证明】∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，k≥2，∴1kk＋1＜1k2＜1kk－1，即1k－1k＋1＜1k2＜1k－1－1k，分别令k＝2,3，…，n得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n－1n＋1＜1n2＜1n－1－1n；菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＜122＋132＋…＋1n2＜1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n，即12－1n＋1＜122＋132＋…＋1n2＜1－1n，∴32－1n＋1＜1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练用放缩法证明不等式的常用方法：(1)添加或舍去一些项，如a2＋a＋1＝a＋122＋34＞a＋122.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)将分子或分母放大(或缩小)，如①1k＝2k＋k＞2k＋k＋1＝2(k＋1－k)；1k＝2k＋k＜2k＋k－1＝2(k－k－1)(k∈N＋，k＞1)．②1k2＜1kk－1＝1k－1－1k；1k2＞1kk＋1＝1k－1k＋1.③1k2＜1k2－1＝1k－1k＋1＝121k－1－1k＋1.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(3)利用真分数的性质：若0＜a＜b，m＞0，则ab＜a＋mb＋m.(4)利用基本不等式，如a＋b≥2ab(a＞0，b＞0)．(5)利用绝对值不等式定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(6)利用函数的单调性．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](2014·天津高考)已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：若anbn，则st.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1,2,3}，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及anbn，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1＝q－11－qn－11－q－qn－1＝－10.所以，st.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向三利用基本不等式或柯西不等式求最值[典例剖析]【例3】已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值．【思路点拨】先将(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)平方后利用基本不等式，还可以利用柯西不等式求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】法一：利用基本不等式∵(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2＝(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋23a＋1·3b＋1＋23b＋1·3c＋1＋23a＋1·3c＋1≤(3a＋1)＋(3b＋1)＋(3c＋1)＋3a＋1＋3b＋1＋3b＋1＋3c＋1＋3a＋1＋3c＋1＝33a＋1＋3b＋1＋3c＋1＝18，∴3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤32.故(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)max＝32.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练法二：利用柯西不等式∵(12＋12＋12)[(3a＋1)2＋(3b＋1)2＋(3c＋1)2]≥(1·3a＋1＋1·3b＋1＋1·3c＋1)2，∴(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)2≤33a＋b＋c