73直线的参数方程

2．2.1直线的参数方程【基础知识梳理】1．直线的参数方程(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为.x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)2参数的几何意义直线的参数方程中参数t的几何意义是：当M0M→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取；当M0M→与e反向时，t取；当点M与点M0重合时，t为．直线上动点Ｍ到定点M0(x0，y0)的距离就是参数t的绝对值正数负数零例1．直线l经过点M0(1,5)，倾斜角为π3，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________.答案：6(3＋1)解析：由题意可得直线l的参数方程为x＝1＋12ty＝5＋32t(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋12t－5＋32t－2＝0，解得t＝－6(3＋1)．根据t的几何意义可知|MM0|＝6(3＋1)．【基本题型】(t解：(1)直线的参数方程是x＝1＋32ty＝1＋12t是参数)．例2已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，(1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．62y2x+(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A1＋32t1，1＋12t1，B1＋32t2，1＋12t2.以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋(3＋1)t－2＝0.①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.分析：本题主要考查直线参数方程以及直线与曲线的位置关系．首先把直线的参数方程代入曲线方程，可以得到关于参数t的二次方程，根据参数的有关意义可以解决此问题．例3．已知直线的参数方程为x＝－1＋3ty＝2－4t(t为参数)，它与曲线(y－2)2－x2＝1交于A，B两点．(1)求|AB|的长；(2)求点P(－1,2)到线段AB中点C的距离．解：(1)把直线的参数方程化为标准形式代入曲线方程并化简得7t2-30t－50＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－307，t1t2＝－507.所以，线段|AB|的长为|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝10723.(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为t1＋t22＝－157所以，由t的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB中点C的距离为︱－157︱＝157.直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长AB＝|t1－t2|；②设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝t1＋t22(由此可求|M2M|及中点坐标)．【规律方法总结】写出经过点P(1，－5)，倾斜角是π3的直线参数方程，(1)利用这个参数方程求这条直线与直线x－y－23＝0的交点与点P的距离，(2)求这条直线和圆x2＋y2＝16的两个交点与点P的距离之积．【课后练习】解：直线的参数方程为x＝1＋tcosπ3，y＝－5＋tsinπ3，即x＝1＋12t，y＝－5＋32t.①将①代入直线方程x－y－23＝0，得1＋12t＋5－32t－23＝0，解得t＝43.根据直线参数方程中参数t的几何意义知两条直线的交点与P点的距离为43.又将①代入圆的方程x2＋y2＝16，得1＋12t2＋－5＋32t2＝16，即t2＋(1－53)t＋10＝0，则t1＋t2＝53－1，t1·t2＝10(t1，t2为关于t的一元二次方程的两根)，从而直线和圆的两交点与点P的距离之积为10.