高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修5

第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理[学习目标]1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．[知识提炼·梳理]1．在Rt△ABC中的有关定理，在Rt△ABC中，C＝90°，则有：(1)A＋B＝___，(2)a2＋b2＝__(勾股定理)．2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_________________，这个比值是三角形外接圆的_____．c2直径π2asinA＝bsinB＝csinC3．解三角形，一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_____，已知三角形的n个元素，求其他元素的过程叫做__________．元素解三角形[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在Rt△ABC中，若C为直角，则sinA＝ac.()(2)在△ABC中，若a＞b，则A＞B.()(3)在△ABC中，C＝π－A－B.()(4)在△ABC中，若sinB＝22，则B＝π4.()解析：(1)在Rt△ABC中，因为∠C＝π2，由初中三角函数定义知sinA＝ac成立，故正确．(2)在三角形中总有大边对大角，因为a＞b，所以A＞B，故命题正确．(3)因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以C＝π－A－B，故正确．(4)在△ABC中，因为sinB＝22，得B＝π4或3π4，故不正确．答案：(1)√(2)√(3)√(4)×2．在△ABC中，当sinA＞sinB，则角A与角B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．不能确定解析：因为在△ABC中大边对大角，又知asinA＝bsinB及sinA＞sinB，所以a＞b，所以A＞B.答案：A3．在△ABC中，已知a＋csinA＋sinC＝2，则其外接圆的直径为()A．1B．2C．3D．4解析：由正弦定理asinA＝csinC＝a＋csinA＋sinC＝2R(其中R是其外接圆的半径)，得2R＝2.答案：B4.在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：因为sinA＝sinC，则A＝C或A＝π－C，但若A＝π－C，则A＋C＝π与A＋B＋C＝π矛盾．答案：B5．写出下列三角形解的个数．(1)a＝7，b＝14，A＝30°，________；(2)a＝30，b＝25，A＝150°，________；(3)a＝6，b＝9，A＝45°，________；(4)b＝9，a＝10，A＝60°，________．解析：对于(1)，a＝bsinA，有一解；对于(2)，ab，A＝150°，三角形是钝角三角形，有一解；对于(3)，sinB＝bsinAa＝3421，无解；对于(4)，asinB＝539＝b，有两解．答案：(1)一解(2)一解(3)无解(4)两解类型1已知两角及一边解三角形(自主研析)[典例1]在△ABC中，已知A＝30°，B＝45°，a＝2，解三角形．[自主解答]由正弦定理可知：asinA＝bsinB，即2sin30°＝bsin45°，所以b＝22.又C＝180°－30°－45°＝105°，由正弦定理有：2sin30°＝csin105°，即c＝4sin(60°＋45°)＝6＋2.归纳升华已知两角及一边解三角形的方法(1)若所给边是已知角的对边时，可先由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．[变式训练]在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.解：A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，由正弦定理bsinB＝asinA，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．类型2已知两边及一边的对角解三角形[典例2]已知下列各三角形中的两边及一边的对角，解三角形．(1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)b＝10，c＝56，C＝60°；(3)a＝23，b＝6，A＝30°.解：(1)由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝20·sin60°10＝3＞1，所以三角形无解．(2)由正弦定理得：sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，所以B＝45°或135°，又因为b＜c，所以B＜C，所以B＝45°，A＝180－(B＋C)＝75°，所以a＝bsinAsinB＝10·sin75°sin45°＝5(3＋1)．(3)由正弦定理得：当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.归纳升华(1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形，通过结合边越长则角越大的知识，可做出正确选择．(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：AA为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA＜a＜ba＜bsinAa＞ba≤b解的个数一解两解无解一解无解[变式训练]已知在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，解这个三角形．解：由正弦定理得3sinA＝2sin45°，sinA＝32，A＝60°或120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，由csin75°＝2sin45°得c＝6＋22.当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，由csin15°＝2sin45°得c＝6－22.所以A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.类型3利用正弦定理判断三角形的形状(互动探究)[典例3]在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：法一：在△ABC中，根据正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2R2＝b2R2＋c2R2，即a2＝b2＋c2.所以A＝90°，所以B＋C＝90°.由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，所以sin2B＝12.因为B是锐角，所以sinB＝22，所以B＝45°，C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．法二：在△ABC中，根据正弦定理：sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.因为sin2A＝sin2B＋sin2C，所以a2＝b2＋c2，所以△ABC是直角三角形且A＝90°.从而B＋C＝90°，sinB＝cosC，由sinA＝2sinBcosC，所以sin2B＝12，则B＝45°，从而B＝C＝45°.所以△ABC是等腰直角三角形．归纳升华依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种解法：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．[迁移探究]若将上例题设中的“sinA＝2sinBcosC”改为“bsinB＝csinC”，其余条件不变，试解答．解：由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝2R.从而得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.因为bsinB＝csinC，sin2A＝sin2B＋sin2C，所以b·b2R＝c·c2R，a2R2＝b2R2＋c2R2，所以b2＝c2，a2＝b2＋c2，所以b＝c，A＝90°.所以△ABC为等腰直角三角形．类型4三角形的面积[典例4]在△ABC中，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.解：因为cosB2＝255，所以cosB＝2cos2B2－1＝35.所以B∈0，π2，所以sinB＝45.因为C＝π4，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝7210.因为asinA＝csinC，所以c＝asinCsinA＝27210×22＝107.所以S＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.归纳升华(1)在解求三角形的面积S的问题时，注意恰当选用三角形面积公式S＝12ab·sinC＝12ac·sinB＝12bcsinA．与S＝12底×高一样，都有多种形式，故需选择恰当的公式．(2)注意综合应用三角形函数和倍角公式、正弦定理求三角形的相关要素．[变式训练](1)在△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________．(2)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．解析：(1)因为cosC＝13，所以C∈0，π2，所以sinC＝1－132＝223，又S△ABC＝12absinC＝12·32·b·223＝43，所以b＝23.(2)由正弦定理得sinC＝AB·sinBAC＝3×121＝32，又因为C∈(0，π)，所以C＝60°或120°，所以A＝90°或30°，所以S△ABC＝12AB·AC·sinA＝32或34.答案：(1)23(2)32或341．正弦定理可建立边角关系，角的正弦值越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意的是一个解还是两个解．一般地，已知a，b，A解三角形时，只有A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．特别强调：把a＝2RsinA，b＝2RsinB代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．