高中数学第二章平均值不等式(选学)2.4最大值与最小值问题,优化的数学模型课件

自学导引1.设a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.2.设a1，a2，…，an为n个正数，则na1a2…an≥n1a1＋1a2＋…＋1an，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.3.设a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an≥n1a1＋1a2＋…＋1an－，等号成立⇔a1＝a2＝…an.4.设D为f(x)的定义域，如果存在x0∈D，使得f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))x∈D，则称为f(x)在D上的，x0称为f(x)在D上的.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为.f(x0)最大(小)值最大(小)值点最值问题基础自测1.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件和2件，现在选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则花钱最少和最多的值分别为()A.20，23B.19，25C.21，23D.19，24解析最多为5×3＋4×2＋2×1＝25，最少为5×1＋4×2＋2×3＝19，应选B.答案B2.若f(x)＝x3＋3x且x∈(0，1]，则f(x)的最小值是()A.2B.不存在C.103D.316解析∵x∈(0，1]，即x0.f(x)＝x3＋3x≥21＝2.等号成立的条件是x3＝3x，即x＝3∉(0，1]，所以利用均值不等式，等号不成立，不能求f(x)的最小值.令x3＝t，则3x＝1t，t∈0，13，原函数变为y＝t＋1t，∵y＝t＋1t在(0，1]上是减函数，则在0，13上也是减函数，∴t＝13时，ymin＝13＋3＝103.答案C3.函数y＝3xx2＋x＋1(x0)的值域为____________.解析将原函数变为y＝3x＋1x＋1，用函数x＋1x在x0时的性质知：x＋1x≤－2.∴x＋1x＋1≤－1，∴1≥－1x＋1x＋1，即01x＋1x＋1≥－1，∴0y＝3x＋1x＋1≥－3，故值域为[－3，0).答案[－3，0)知识点1利用柯西不等式求函数的最值【例1】若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.解由柯西不等式，得：(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝4.所以25(x2＋y2)≥4，即x2＋y2≥425.当且仅当x3＝y4时，等号成立，∴4x＝3y3x＋4y＝2，解得x＝625y＝825.所以x2＋y2的最小值为425，最小值点为625，825.●反思感悟：利用柯西不等式求函数的最小值时，往往需乘以一个两常数的平方和，常数的选取要根据题设条件来定，如例1，利用柯西不等式求最大值时，往往对函数解析式的各项配一系数，使利用柯西不等式后n个项的平方和为常数.1.设a，b，c为正数，a＋b＋4c2＝1，求a＋b＋2c的最大值.解由柯西不等式得：(a＋b＋2c)2＝a·1＋b·1＋2c·122≤[(a)2＋(b)2＋(2c)2]12＋12＋122，即(a＋b＋2c)2≤1·1＋1＋12＝52.当且仅当a1＝b1＝2c12时，即a＝b＝8c2时取等号.∴20c2＝1，c＝125＝510，a＝b＝25时，a＋b＋2c的最大值为102.知识点2利用平均值不等式求函数的最值【例2】(1)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)求y＝x2＋1x2＋4的最大值；(3)若x0，y0，且x＋y＝2，求x2＋y2的最小值.解(1)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立.故当x＝1时，ymax＝1.(2)y＝x2＋1x2＋4＝x2＋1（x2＋1）＋3＝1x2＋1＋3x2＋1≤123＝36.当且仅当x2＋1＝3x2＋1，即x2＝2，x＝±2时，ymax＝36.(3)方法一：由x2＋y2≥2xy，得2(x2＋y2)≥(x＋y)2，即x2＋y2≥（x＋y）22.因为x＋y＝2，所以x2＋y2≥2.当且仅当x＝y＝1时，取得最小值2.方法二：由柯西不等式，得：(x2＋y2)(12＋12)≥(x＋y)2.∴x2＋y2≥12(x＋y)2＝12×4＝2.当且仅当x1＝y1，即x＝y时取等号.∴x＝y＝1时，(x2＋y2)min＝2.●反思感悟：利用平均值不等式求最值关键在变形上，变形的目的是能得到积为定值或和为定值，求最值时一定要找出最大(小)值点，如果最大(小)值点不存在，则不能用平均值不等式求最值，可考虑用函数的单调性或用其它方程.2.求函数y＝x2－2x＋6x＋1(x≥0)的最小值.解y＝（x＋1）2－4（x＋1）＋9x＋1＝(x＋1)＋9x＋1－4≥2（x＋1）9x＋1－4＝2.当且仅当x＋1＝9x＋1，即x＝2时，等号成立.所以ymin＝2.知识点3平均值不等式在实际中的应用【例3】从半径为2的圆板上剪下一个圆心角为θ的扇形，围成一个圆锥的侧面(如下图)，如何操作使圆锥体积最大(即求出相应的θ角).解如题图，圆锥的母线长为2，设圆锥轴截面的底角为α0απ2.则圆锥底面半径r＝2cosα，高h＝2sinα，V＝13πr2h＝13π·4cos2α·2sinα＝83π(1－sin2α)sinα＝83π（1－sin2α）（1－sin2α）sin2α＝83π12（1－sin2α）（1－sin2α）2sin2α≤83π121－sin2α＋1－sin2α＋2sin2α33＝83π12·233＝16273π.当且仅当2sin2α＝1－sin2α，即sinα＝33时取等号.此时，r＝236，由此得扇形的中心角θ＝2πr2＝236π.即从圆板上剪下中心角为236π的扇形围成的圆锥体积最大，最大值为16273π.3.建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元.解析设池底一边长为xm，水池的总造价为y元，则依题意得y＝4×120＋22x＋2·4x·80＝480＋320x＋4x(x0).∵x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号，∴y最小＝480＋320×4＝1760(元)答案1760课堂小结柯西不等式有代数式、向量式和三角式三种形式，代数式又有二维形式、三维形式和一般式，都要熟练掌握.柯西不等式和均值不等式的主要应用是求函数的最值和证明不等式，有些函数的最值既可以用柯西不等式来求又可以用平均值不等式来求.随堂演练1.求函数y＝x2＋5x＋15x＋2，x≥0的最小值.解y＝（x＋2）2＋x＋2＋9x＋2＝(x＋2)＋9x＋2＋1≥29＋1＝7，当且仅当x＋2＝9x＋2，即x＋2＝3，x＝1时取等号.∴x＝1时，ymin＝7.2.求函数y＝2－9x－4x(x0)的最大值.解y＝2－9x＋4x≤2－29×4＝2－12＝－10，当且仅当9x＝4x，即x＝23时取等号.∴x＝23时，ymax＝－10.3.若2x＋3y＝1，求x2＋y2的最小值，及最小值点.解由柯西不等式，得(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2＝1.∴x2＋y2≥113，当且仅当x2＝y3，即3x＝2y时取等号.由3x＝2y，2x＋3y＝1，得x＝213，y＝313.所以当x＝213y＝313时，(x2＋y2)min＝113，最小值点为213，313.