线性代数居余马第1章_行列式

线性代数线性代数熊小勇Tel:18070096775QQ:51186370为什么学线性代数（linearalgebra）•今日世界线性代数可以说是应用最广泛的数学分支（算术除外），同时它也是一门相当基本的数学课程，对这门课程的把握是数学交流及其它科学交流的前提与必要基础。它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性，抽象性和广泛的实用性，在数据结构、人工智能、机器学习等多种学科中都有应用，学好它对我们学习后续课程和走入社会参加工作都是非常有益的。第1章行列式,211222112121221aaaababax,时当021122211aaaa22221211212111bxaxabxaxa211222111122112aaaababax二阶行列式用于解二元一次联立方程组1.1n阶行列式的定义及性质DDaaaababax2222112112211112211222111211122211222112122211aaaabaabxaaaabaabx,阶行列式二为称bcaddcba,DDaaaaababx1222112112221211323122211211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式用于解三元一次联立方程组322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa32312221133331232112aaaaaaaaaa131312121111AaAaAa3332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaa,时当0333231232221131211aaaaaaaaaD的代数余子式。为称，ijijijjiijaAMA)(1333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa3231222113aaaaM3332232211aaaaM3331232112aaaaM的余子式；为称ijijaM3132121111AbAbAbD其中,DDx,DDx,DDx332211aabaabaabD3332323222131211abaabaabaD33331232211311123323122221112113baabaabaaD定义由n2个数aij(i,j=1,2,,n)组成的n阶行列式是一个算式其中：aij称为行列式的第i行，第j列的元素;nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211当n=1时，D＝a11当n2时,1.1.1n阶行列式的定义（递归法）D=nnAaAaAa1112121111M1j称为a1j的余子式;Mij是划去D的第i行第j列后的n1阶行列式;A1j=(-1)1+jM1j称为a1j的代数余子式。例1对角行列式，上、下三角行列式niiinnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa121222111222112112211000000000000000000000000121aaaann例2Dn==(1)n(n1)/2a1a2an1an=(1)n1anDn-112112)2()1()1(aaaannnn==(1)n+1anDn-1=(1)n1an(1)n2an1Dn-21.1.2n阶行列式的性质行列式对行和列有相同的性质(下面主要用行讲)性质1行列式D的行与列依次互换，则行列式的值不变nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaD212221212111212222111211性质2行列式对任一行(或列)按下式展开，其值相等，即n,,i,AaAaAaAaDininiiiinkikik122111n,,j,AaAaAaAaDnjnjjjjjnkkjkj122111性质3（线性性质）nnnniniinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaaD212111211212111211nnnnininiiiinaaabababaaaaD21221111211nnnniniinnnnniniinaaabbbaaaaaaaaaaaa212111211212111211推论若行列式有一行元素全为零，则行列式的值等于零（k=0）。性质4若行列式有两行元素相同，则行列式的值为0用归纳法证明：n=2成立。设命题对n-1阶行列式成立，对第i,j行相同的n阶行列式D，对第k（ki,j）行展开,得推论行列式有两行元素成比例，则行列式的值为0。02101122111DnlMjinlkMMAAaAaAaAaDklklkllkklknknkkkknlklkl故由归纳假设，行相同阶行列式，第列的第行是划去第其中),,,,(,,,,)(性质5将行列式的某一行乘以常数加到另一行(对行列式作倍加行变换),则行列式的值不变。nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD21212111211nnnnjninjijiiniinaaaakaakaakaaaaaaa2122112111211性质6若行列式两行对换，行列式的值反号，即iniijnjjjnjjiniiaaaaaaaaaaaa21212121jnjjjninjijiaaaaaaaaa212211左边证明iniijninjijiaaaaaaaaa212211将左边第j行加到第i行；再将第i行乘(1)加到第j行。于是将上式第j行加到第i行,再提出第j行的公因子(1)，即得左边=右边性质7行列式某一行元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即nkinjnijijikjkij,AaAaAaAa122110nnnnjnjjjnjjnaaaaaaaaaaaa21212111211nkikjkAa1证明把行列式D的第i行换成第j行nkikikAaD1=0是克罗内克(Kronecker)函数nkikikAaD1nkikjkij,Aa10nkijikjkDAa1nkijkikjDAa1两式可合写为ij,ij,ij01其中同理，对列展开，有计算方法：利用定义或性质例1上、下三角行列式均等于其主对角元素的乘积10332121024213221D例24110121012003221)1()2()2()1()4(3300120012103221)3()4()3()2(2/3000120012103221)2/3()3()4(=2(3/2)=31.2n阶行列式的计算1123247114120242D计算：例31042153192)1(23111042415314920200D第3列乘4加到第1列15592)1(2331002155192230)4530(2对第1行展开第1行化为只有一个非0元将第3列乘1加到第1列再将第3列乘2加到第2列对第3行展开例4证明：3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba把左端行列式的第2,3列加到第1列，提出公因子2证法13333322222111112bacbabacbabacba将第2,3列加到第1列提出第2,3列的公因数(1)3333333222222211111112accbcbaaccbcbaaccbcba左再作两次列对换3332221112bacbacbac3332221112cbacbacba左把第1列乘(1)加到第2,3列证法2用性质3，将左式表示成23个行列式之和(n阶可以表示成2n个)。333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba左333322221111333322221111accaaccaaccaacbaacbaacba333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbb333222111333222111acbacbacbcbacbacba=右式对换2次拆成8个，其中有6个行列式各有两列相等而等于零例5计算n阶行列式abbbabbbaDnDn的每行元素之和均为a+(n1)b把各列加到第1列abbnababnabbbnaDn)1()1()1(abbabbbna111])1([1)]()1([nbabnabababbbna01])1([提出公因子a+(n1)b将第1行乘(1)加到其余各行，化为上三角行列式解例6设xyz0,计算zyxD321321321将第2列乘(x/y)，第3列乘(x/z)都加到第1列zxyxxD00321yzzxyxx321xyzxyxzyz32解法1第1行乘(1)加到第2,3行zyxzxyx000032132上三角行列式解法2拆项法zyxD302010320103021zyxzy3020032003023021032103021得D=yz+2xz+3xy+xyz将D表示成23个行列式之和（拆第1列）拆第2，3列，除去有两列成比例而等于零的zyxyxzxzy000000300303020020020101001例7aaaaaaaniDni00000321aaaaaaaanD321求列将各列加到第1列展开对第1ninnia111)1(解aaaaaini1下三角行列式例8证明n阶范德蒙(Vandermonde)行列式njiijnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxV111312112232221321)(1111)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxVnnnnnnnnn))()(()()()())((122122311312nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxx(ij时，xixj)证明用数学归纳法.n=2成立2112212)()(11jiijxxxxxxV假设对n-1阶命题成立从第n行起,依次将前一行乘(x1)加到后一行对第1列展开)()()()()()()()()(1213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnn223223211312111)())((nnnnnnxxxxxxxxxxxx提出公因子是x2,,xn的n1阶范德蒙行列式，