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线性代数知识点总结1行列式(一)行列式概念和性质1、逆序数:所有的逆序的总数2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和。(5)一行(列)乘k加到另一行(列),行列式的值不变。(6)两行成比例,行列式的值为0。(二)重要行列式4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式:(A是m阶矩阵,B是n阶矩阵),则7、n阶(n≥2)范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a,其余元素为b的行列式的值:(三)按行(列)展开9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0(四)行列式公式10、行列式七大公式:(1)|kA|=kn|A|(2)|AB|=|A|·|B|(3)|AT|=|A|(4)|A-1|=|A|-1(5)|A*|=|A|n-1(6)若A的特征值λ1、λ2、……λn,则(7)若A与B相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则11、克莱姆法则:(1)非齐次线性方程组的系数行列式不为0,那么方程为唯一解(2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为0,则齐次线性方程组只有0解;如果方程组有非零解,那么必有D=0。2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若B=E,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出A=O或B=O。2、转置的性质(5条)(1)(A+B)T=AT+BT(2)(kA)T=kAT(3)(AB)T=BTAT(4)|A|T=|A|(5)(AT)T=A(二)矩阵的逆3、逆的定义:AB=E或BA=E成立,称A可逆,B是A的逆矩阵,记为B=A-1注:A可逆的充要条件是|A|≠04、逆的性质:(5条)(1)(kA)-1=1/k·A-1(k≠0)(2)(AB)-1=B-1·A-1(3)|A-1|=|A|-1(4)(AT)-1=(A-1)T(5)(A-1)-1=A5、逆的求法:(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解(2)A为数字矩阵:(A|E)→初等行变换→(E|A-1)(三)矩阵的初等变换6、初等行(列)变换定义:(1)两行(列)互换;(2)一行(列)乘非零常数c(3)一行(列)乘k加到另一行(列)7、初等矩阵:单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质:(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij(i,j两行互换);Ei-1(c)=Ei(1/c)(第i行(列)乘c)Eij-1(k)=Eij(-k)(第i行乘k加到j)★(四)矩阵的秩9、秩的定义:非零子式的最高阶数注:(1)r(A)=0意味着所有元素为0,即A=O(2)r(An×n)=n(满秩)←→|A|≠0←→A可逆;r(A)<n←→|A|=0←→A不可逆;(3)r(A)=r(r=1、2、…、n-1)←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。10、秩的性质:(7条)(1)A为m×n阶矩阵,则r(A)≤min(m,n)(2)r(A±B)≤r(A)±(B)(3)r(AB)≤min{r(A),r(B)}(4)r(kA)=r(A)(k≠0)(5)r(A)=r(AC)(C是一个可逆矩阵)(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)(7)设A是m×n阶矩阵,B是n×s矩阵,AB=O,则r(A)+r(B)≤n11、秩的求法:(1)A为抽象矩阵:由定义或性质求解;(2)A为数字矩阵:A→初等行变换→阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则r(A)=非零行的行数(五)伴随矩阵12、伴随矩阵的性质:(8条)(1)AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1(2)(kA)*=kn-1A*(3)(AB)*=B*A*(4)|A*|=|A|n-1(5)(AT)*=(A*)T(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1(7)(A*)*=|A|n-2·A★(8)r(A*)=n(r(A)=n);r(A*)=1(r(A)=n-1);r(A*)=0(r(A)<n-1)(六)分块矩阵13、分块矩阵的乘法:要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆:3向量(一)向量的概念及运算1、向量的内积:(α,β)=αTβ=βTα2、长度定义:||α||=3、正交定义:(α,β)=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义:A为n阶矩阵,AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1(二)线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件:非零列向量β可由α1,α2,…,αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=β有解。★(2)←→r(α1,α2,…,αs)=r(α1,α2,…,αs,β)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)6、线性表示的充分条件:(了解即可)若α1,α2,…,αs线性无关,α1,α2,…,αs,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示。7、线性表示的求法:(大题第二步)设α1,α2,…,αs线性无关,β可由其线性表示。(α1,α2,…,αs|β)→初等行变换→(行最简形|系数)行最简形:每行第一个非0的数为1,其余元素均为0(三)线性相关和线性无关8、线性相关注意事项:(1)α线性相关←→α=0(2)α1,α2线性相关←→α1,α2成比例9、线性相关的充要条件:向量组α1,α2,…,αs线性相关(1)←→有个向量可由其余向量线性表示;(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解;★(3)←→r(α1,α2,…,αs)<s即秩小于个数特别地,n个n维列向量α1,α2,…,αn线性相关(1)←→r(α1,α2,…,αn)<n(2)←→|α1,α2,…,αn|=0(3)←→(α1,α2,…,αn)不可逆10、线性相关的充分条件:(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关(2)部分相关,则整体相关(3)高维相关,则低维相关(4)以少表多,多必相关★推论:n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1,α2,…,αs线性无关(1)←→任意向量均不能由其余向量线性表示;(2)←→齐次方程(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解(3)←→r(α1,α2,…,αs)=s特别地,n个n维向量α1,α2,…,αn线性无关←→r(α1,α2,…,αn)=n←→|α1,α2,…,αn|≠0←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件:(1)整体无关,部分无关(2)低维无关,高维无关(3)正交的非零向量组线性无关(4)不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定(1)定义法★(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关【专业知识补充】(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。(2)若n维列向量α1,α2,α3线性无关,β1,β2,β3可以由其线性表示,即(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,则r(β1,β2,β3)=r(C),从而线性无关。←→r(β1,β2,β3)=3←→r(C)=3←→|C|≠0(四)极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比:矩阵的秩:非零子式的最高阶数★注:向量组α1,α2,…,αs的秩与矩阵A=(α1,α2,…,αs)的秩相等★16、极大线性无关组的求法(1)α1,α2,…,αs为抽象的:定义法(2)α1,α2,…,αs为数字的:(α1,α2,…,αs)→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组(五)向量空间17、基(就是极大线性无关组)变换公式:若α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn是n维向量空间V的两组基,则基变换公式为(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)Cn×n其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵。C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)18、坐标变换公式:向量γ在基α1,α2,…,αn与基β1,β2,…,βn的坐标分别为x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,,即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn,则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中,C是从基α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βn的过渡矩阵。C=(α1,α2,…,αn)-1(β1,β2,…,βn)(六)Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1,α2,α3线性无关(1)正交化令β1=α1(2)单位化4线性方程组(一)方程组的表达形与解向量1、解的形式:(1)一般形式(2)矩阵形式:Ax=b;(3)向量形式:A=(α1,α2,…,αn)2、解的定义:若η=(c1,c2,…,cn)T满足方程组Ax=b,即Aη=b,称η是Ax=b的一个解(向量)(二)解的判定与性质3、齐次方程组:(1)只有零解←→r(A)=n(n为A的列数或是未知数x的个数)(2)有非零解←→r(A)<n4、非齐次方程组:(1)无解←→r(A)<r(A|b)←→r(A)=r(A)-1(2)唯一解←→r(A)=r(A|b)=n(3)无穷多解←→r(A)=r(A|b)<n5、解的性质:(1)若ξ1,ξ2是Ax=0的解,则k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解(2)若ξ是Ax=0的解,η是Ax=b的解,则ξ+η是Ax=b的解(3)若η1,η2是Ax=b的解,则η1-η2是Ax=0的解【推广】(1)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的解,则k1η1+k2η2+…+ksηs为Ax=b的解(当Σki=1)Ax=0的解(当Σki=0)(2)设η1,η2,…,ηs是Ax=b的s个线性无关的解,则η2-η1,η3-η1,…,ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。变式:①η1-η2,η3-η2,…,ηs-η2②η2-η1,η3-η2,…,ηs-ηs-1(三)基础解系6、基础解系定义:(1)ξ1,ξ2,…,ξs是Ax=0的解(2)ξ1,ξ2,…,ξs线性相关(3)Ax=0的所有解均可由其线性表示→基础解系即所有解的极大无关组注:基础解系不唯一。任意n-r(A)个线性无关的解均可作为基础解系。★7、重要结论:(证明也很重要)设A施m×n阶矩阵,B是n×s阶矩阵,AB=O(1)B的列向量均为方程Ax=0的解(2)r(A)+r(B)≤n(第2章,秩)8、总结:基础解系的求法(1)A为抽象的:由定义或性质凑n-r(A)个线性无关的解(2)A为数字的:A→初等行变换→阶梯型自由未知量分别取1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系(四)解的结构(通解)9、齐次线性方程组的通解(所有解)设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,则Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r(其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)10、非齐次线性方程组的通解设r(A)=r,ξ1,ξ2,…,ξn-r为Ax=0的基础解系,η为Ax=b的特解,则Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r(其中k1,k2,…,kn-r为任意常数)(五)公共解与同解11、公共解定义:如果α既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,则称α为其公共
本文标题:线性代数总结汇总+经典例题
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