线性代数教案(2015)

1第一章行列式1.1行列式的概念一、本次课主要内容介绍行列式的起源，总结学习二阶行列式和三阶行列式，学习全排列和逆序数，归纳n阶行列式的定义。二、教学目的与要求掌握二阶、三阶及n阶行列式的概念，掌握逆序数的计算。三、教学重点难点1、二阶、三阶行列式的定义、计算；2、逆序数的计算；3、n阶行列式的定义。四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P22习题1（6）、2（3），32§1.1行列式的概念对于方程组11112212112222axaxbaxaxb用消元法，当112212210aaaa－方程组有唯一解122212111221221babaxaaaa和211121211221221babaxaaaa。观察上面链各个式子的分母，发现是一样的。而且两个式子的分子和分母在型式上也是有相似之处的。一、二阶行列式的概念设有数表11122122aaaa，两边加上竖线变为11122122aaaa，记1112112212212122aaaaaaDaa注意：2阶的行列式一共能分成2=2!项相加相减（一项加一项减）。每一项里面有2个不同行，不同列的元素相乘。简单介绍对角线法其中ija表示的是第i行，第j列的元素。i和j分别称为行坐标和列坐标。D称为行列式的值，是11221221aaaa的计算结果。11122122aaaa有两行两列，所以称之为二阶行列式。如同水有气体，液体，固体三种表现形式一样。一个行列式也可以表现为三种形式：行列式，组成行列式的元素的计算式，和行列式的值。例如：121122321二元一次方程组的求解公式3对于方程组11112212112222axaxbaxaxb，当112212210aaaa－方程组有唯一解122212111221221babaxaaaa和211121211221221babaxaaaa。记111221220aaDaa1121122212222baDbababa，1112211121212abDbabaab注意1D和2D就是用1b和2b分别替换原来D中第一，第二列元素所得的行列式。则此时有1212,DDxxDD，这个就是克莱姆法则。我们将在第四节的时候再一次讲到它。P2例题1二、三阶行列式的概念设有数表111213212223313233aaaaaaaaa，两边加上竖线变为111213212223313233aaaaaaaaa，记111213212223112233122331132132132231122133112332313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa称这个式子就是对应于前面数表的三阶行列式。继续补充对角线法则讲解。3阶的行列式一共能分成6=3!项相加相减（三项加三项减）。每一项4里面有3个不同行，不同列的元素相乘。111213212223313233aaaaaaaaa有三行三列，所以称之为三阶行列式。对于线性方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb，当1112132122233132330aaaDaaaaaa时。方程组有唯一解，记312123,,DDDxxxDDD，其中1D、2D和3D就是用1b、2b和3b分别替换原来D中第一，第二，第三列元素所得的行列式P4例2往n阶行列式推广对角线法写行列式仅限于两阶和三阶行列式，比三阶高的都不能用。行列式的阶数：行列式的行数或者列数。有几行或者几列就是几阶。n阶的行列式一共能分成n!项相加相减。每一项里面有n个不同行，不同列的元素相乘。接下来就是介绍为什么n阶行列式有n!项相加相减，到底哪一项前面是+，哪一项是-号三、排列与逆序数1由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组i1,i2,…,in称为一个n级排列例如，由1，2，3可组成的三级排列共有3!＝6个，分别为123;132;213;231;312;321;n级排列的总数为n!个。2一个排列中，若较大的数is排在较小的数it的前面(isit)时，称这一对数isit构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为它的逆序数。记为(i1,i2,…in)，简记为。5例如(123)=0,(312)=2,(45213)=7,奇排列与偶排列逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列对换将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不动，则称对该排列作了一次对换。定理1每一个对换改变排列的奇偶性结论：在n(2)级排列中，奇偶排列各有!2n个。111213212223112233122331132132132231122133112332313233aaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa前三项的列排列的逆序都为偶数，前面的符号为+。后面三项的列排列都为奇数，前面的符号为—。所以式子用连加符号表示为123123123111213()212223123313233(1)jjjjjjjjjaaaDaaaaaaaaa类似的，而阶行列式也可以表示为12121112()11221221122122(1)jjjjaaDaaaaaaaa对于n阶行列式12121112121222()1212(1)nnnnjjjjjnjnnnnaaaaaaDaaaaaa6注意到这里的行坐标是按照自然顺序来的，列坐标是乱序的。n阶行列式的定义也可写成1212()12(1)nniiiiiinDaaa注意到这里的列坐标是按照自然顺序来的，行坐标是乱序的。或者12121122()()(1)nnnniiijjjijijijDaaa这里的行列坐标排列都是乱序。例4，附带讲解上，下三角行列式和对角行列式。112211122nnnnaaDaaaa1121222112212nnnnnnaaaDaaaaaa教学后记：7第一章行列式1.2行列式的性质一、本次课主要内容介绍行列式的性质，并利用行列式的性质进行计算。二、教学目的与要求掌握n阶行列式的性质概念，并能利用这些性质进行行列式的计算。三、教学重点难点1、n阶行列式的性质；2、利用行列式的性质进行计算；四、教学方法和手段课堂讲授、提问，总结归纳。五、作业与习题布置P22-23习题14（1）、（3）、（7），5（2）8§1.2行列式的性质第一章行列式性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变111211121121222122221212,nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDDaaaaaa则TDD。行列式TDD称为行列式D的转置行列式。即把行列式D的行变成列，列变成行。讲解三种转置的记忆方法。显然有()TTDDTijDijb设行列式中位于第行，第列的元素为，   ,1,2,;()jjibiaijn显然有12121212()12()12(1)(1)nnnnjjjTjjnjjjjjjjnDbbbaaaD即证性质2互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号11121121212,npppnqqqnnnnnaaaaaaDaaaaaa11121121212,nqqqnpppnnnnnaaaaaaMaaaaaa9则DM。（D和M就是呼唤了P，q两行得到）在M中第p行元素,pjqjaa，第q行元素,qjpjaa11()''1(1)pqnpqnjjjjjpjqjnjMaaaa11(()1(1)pqnpqnjjjjjqjpjnjaaaa11()1(1)pqnqpnjjjjjpjqjnjaaaa11()1(1)qpnpqnjjjjjqjpjnjaaaaD证明完毕推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零交换行列式这两行，有D=－D，故D=0性质3若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数k，等于该行列式乘以数k，即：1112111121112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaDkakakakaaakDaaaaaa证明：121()11(1)()ninjjjjijnjDakaa121()1(1)ninjjjjijnjkaaakD推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。10推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。性质4若行列式中某一行(列)的各元素都是两个数的和，则该行列式等于两个行列式的和。即11121112212niiiiininnnnnaaaDaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa证明：121()1(1)()niinjjjjijijnjDaaaa121211()()11(1)(1)nnininjjjjjjjijnjjijnjaaaaaa12DD一些符号 ijijiijirDicDjrrijrkikrkrjkirkik用表示的第行表示的第列表示交换、两行表示第行乘以表示第行乘以加到第行表示第行提出公因子P11例题（1）111325121522371417345927295746121642cc23213241215221522021601130113021601200120rrrrrrrr3243422152215220113011390030003000330003rrrrrr（2）12343333rrrrabbbababababbabbbabbbbabbbabbbbabbba21311411111111000(3)(3)000000rbrrbrrbrbabbabababbbababbbbaab3(3)()abab（3）1122,3,,11111111200201000jnccjjjnjnn2211(1)23(1)!nnjjnnjj12教学后记：131.3行列式按一行（列）展开一、本次课主要内容行列式的余子式、代数余子式，n阶行列式按行（列）展开。二、教学目的与要求掌握余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开。三、教学重点难点1、余子式、代数余子式的概念、计算；2、行列式按行（列）展开；四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论，总结归纳。五、作业与习题布置P23习题16（3）、7（2）、（4）14§1.3行列式按一行（列）展开一.拉普拉斯展开定理在行列式111111jniijinnnjnnaaaaaaDaaa中划去元素ija所在的行和列，余下的元素按原来顺序构成的一个n－1阶行列式。称为元素ija的余子式，记作ijM。余子式带上符号()1ij－称为ija的代数余子式，记作(1)ijijijAM。写一个三阶行列式，略做练习考察三阶行列式111213212223112233122331132132132231122133112332313233aaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132()aaaaaaaaaaaaaaa111112121313,aAaAaA发现三阶行列式可用其二级子式的线性组合表示31122331iiiiiiikikkDaAaAaAaA这个是按照第i行展开31122331jjjjjjkjkjkDaAaAaAaA这个是按照第j列展开15二阶行列式也是一样111211121221111112122122aaaaaaaAaAaa定理1(Laplace展开定理)行