考点7 正弦定理和余弦定理(解析版)

12010~2015年高考真题汇编专题4三角函数、解三角形考点7正弦定理和余弦定理1.（2015年广东11，5分）设ABC的内角CBA,,的对边分别为cba,,.若6,21sin,3CBa,则b___________.【答案】1.【解析】本题考查利用正弦定理解三角形。155sin,(0,),,,,,266666BBBCBB且或又从而2cos,33,1.6abbb即2.（2015年湖南17，12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角。(1)证明：2BA（2）求sinsinAC的取值范围【答案】（1）详见解析；（2）].89,22(【解析】（1）由Abatan及正弦定理，得sinsincoscosAbBAaB,所以ABcossin，即)2sin(sinAB.又B为钝角，因此),,2(2A故,2AB即；（2）由（I）知，,022)(ABAC所以)4,0(A，于是2AB，因为40A,所以22sin0A89)41(sin21sinsin22cossin)22sin(sinsinsin22AAAAAAACA,因此2222199sin488A2由此可知CAsinsin的取值范围是].89,22(考点：1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.3.（2015年安徽16，12分）在ABC中，23643ACABA，，,点D在BC边上，ADBD，求AD的长。【答案】10【解析】设ABC的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc，由余弦定理得2222232cos(32)62326cos904abcbcBAC所以310a………………………………4分又由正弦定理得sin310sin10310bBACBa由题设知0,4B所以21310cos1sin11010BB在ABD中，由正弦定理得sin6sin310sin(2)2sincoscosABBBADBBBB……………12分4.（2015年福建12，5分）若锐角ABC的面积为103，且5,8ABAC，则BC等于.【答案】7【解析】13sinsin22SABACAA在锐角ABC中,3A由余弦定理2222cos7acbbcAa5.（2015年江苏15，14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为AB=2，AC=3，A=60o（1）求边BC的值；（2）求sin2C．3【答案】（1）7；（2）734【解析】（1）根据题意可知c=2,b=3,A=60o，由余弦定理可知BC2=a2=b2+c2-2abcosA=7故BC=7（2）由余弦定理可知cosC=abcab2222=72,又C,0,sinC=73sin2C=2sinCcosC=7346.（2015年陕西17，12分）C的内角，，C所对的边分别为a，b，c．向量,3mab与cos,sinn平行．求；若7a，2b求C的面积．【答案】（Ⅰ）3A（Ⅱ）233【解析】（Ⅰ）因为nm//所以0cos3sinAbBa由正弦定理，得0cossin3sinsinABBA又0sinB从而3tanA由于A0,所以3A（Ⅱ）由余弦定理，得Abccbacos2222而3,2,7Aba得cc2472即0322cc因为0c，所以3c故ABC的面积为233sin21Abc7．(2014·课标Ⅰ，16,5分)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．【答案】3【解析】由正弦定理得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，4所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，又A∈(0，π)，所以A＝π3，又b2＋c2－a2＝bc≥2bc－4，即bc≤4，故S△ABC＝12bcsinA≤12×4×32＝3，当且仅当b＝c＝2时，等号成立，则△ABC面积的最大值为3.8．(2014·福建，12,4分)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．【答案】23【解析】法一：在△ABC中，根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以4sinB＝23sin60°，解得sinB＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝12·AC·BC·sinC＝23.法二：在△ABC中，根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以4sinB＝23sin60°，解得sinB＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以AB＝42－32＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝12·AB·BC＝23.9．(2014·天津，12,5)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．【答案】－14【解析】由已知及正弦定理，得2b＝3c，因为b－c＝14a，不妨设b＝3，c＝2，所以a＝4，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝－14.10．(2014·江苏，14,5分)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．【答案】6－24【解析】由正弦定理可得a＋2b＝2c，又cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－14a＋2b22ab＝3a2＋2b2－22ab8ab≥26ab－22ab8ab＝6－24，当且仅当3a＝2b时取等号，所以cosC的最小值是6－24.11．(2014·辽宁，17,12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.已知BA·BC5＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．【解析】(1)由BA·BC＝2得c·acosB＝2，又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.解ac＝6a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因ac，所以a＝3，c＝2.(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223，由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23·223＝429.因a＝bc，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13·79＋223·429＝2327.12．(2014·湖南，18,12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．【解析】(1)如题图，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD.故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.(2)如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝1－2772＝217，sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－7142＝32114.6于是sinα＝sin(∠BAD－∠CAD)＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD＝32114×277－－714×217＝32.在△ABC中，由正弦定理，BCsinα＝ACsin∠CBA.故BC＝AC·sinαsin∠CBA＝7×32216＝3.13．(2014·课标Ⅱ，4,5分)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1【解析】选B由题意可得12AB·BC·sinB＝12，又AB＝1，BC＝2，所以sinB＝22，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°.由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝5.14．(2014·江西，4,5分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33【解析】选C由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6①.由余弦定理及C＝π3可得a2＋b2－c2＝ab②.所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝12absinπ3＝12×6×32＝332.715．(2014·重庆，10,5分)已知△ABC的内角A，B，C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()A．bc(b＋c)8B．ab(a＋b)162C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24【解析】选A因为A＋B＋C＝π，由sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12得sin2A＋sin2B＋sin2C＝12，即sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＋sin2C＝12，整理得2sinCcos(A－B)＋2sinCcosC＝2sinC[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12，整理得4sinAsinBsinC＝12，即sinAsinBsinC＝18.又S＝12absinC＝12bcsinA＝12casinB，因此S3＝18a2b2c2sinAsinBsinC＝164a2b2c2.由1≤S≤2得1≤164a2b2c2≤23，即8≤abc≤162，因此选项C，D不一定成立．又b＋ca0，因此bc(b＋c)bc·a≥8，即bc(b＋c)8，选项A一定成立．又a＋bc0，因此ab(a＋b)ab·c≥8，即ab(a＋b)8，显然不能得出ab(a＋b)162，选项B不一定成立．综上所述，选A.16．(2014·山东，12,5分)在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝π6时，△ABC的面积为________．【答案】16【解析】根据平面向量数量积的概念得AB·AC＝|AB|·|AC|cosA，当A＝π6时，根据已知可得|AB|·|AC|＝23，故△ABC的面积为12|AB|·|AC|·sinπ6＝16.17．(2014·北京，15,13分)如图，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．【解析】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B8＝437×12－17×32＝3314(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.18．(2014·陕西，16,12分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解析】(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵s