高中数学 4-2-2 圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修2第四章圆的方程第四章4．2直线、圆的位置关系第四章4．2.2圆与圆的位置关系课前自主预习思路方法技巧名师辨误做答能力强化提升基础巩固训练课前自主预习温故知新1．圆与圆的位置关系(1)外离⇔圆心距______两圆半径长之和；(2)外切⇔圆心距______两圆半径长之和；(3)相交⇔圆心距_____两圆半径长之差的绝对值小于两圆半径长之和；(4)内切⇔圆心距_____两圆半径长之差的绝对值；(5)内含⇔圆心距_____两圆半径长之差的绝对值．大于等于大于等于小于2．相切两圆的性质相切两圆的连心线必经过____点．3．相交两圆的性质相交两圆的连心线____________两圆的公共弦．4．两圆的公切线和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，当两圆在公切线的同侧时，公切线为___公切线；当两圆在公切线的两侧时，公切线为___公切线．切垂直平分外内5．(2012·重庆卷)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心[答案]C[解析]圆心C(0,0)到直线kx－y＋1＝0的距离为d.d＝11＋k2≤1r＝2.[考点定位]此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点与圆的位置关系，以及恒过定点的直线方程，直线与圆的位置关系利用用d与r的大小来判断，当0≤dr时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离．6．(2012～2013湖南浏阳望城高一上学期期末，9)圆P：x2＋y2＝5，则经过点M(－1,2)的切线方程为()A．x－2y－5＝0B．x＋2y＋5＝0C．x＋2y－5＝0D．x－2y＋5＝0[答案]D新课引入上图为1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．自主预习阅读教材P129～130，回答下列问题．1．判断圆与圆的位置关系(1)几何法：圆O1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21(r10)，圆O2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22(r20)，两圆的圆心距d＝|O1O2|＝x1－x22＋y1－y22，则有：(2)代数法：圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，两圆的方程联立得方程组，则有：圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝2的位置关系是()A．相切B．外离C．内含D．相交[答案]C[解析]圆x2＋y2＝1的圆心O1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2＝2的圆心O2(0,0)，半径r2＝2，则d＝|O1O2|＝0，|r2－r1|＝2－1，∴d|r2－r1|，∴这两圆的位置关系是内含．圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1的位置关系是()A．相交B．外切C．内切D．外离[答案]D[解析]圆x2＋y2＝4的圆心O1(0,0)，半径r1＝2，圆(x－4)2＋(y－7)2＝1的圆心O2(4,7)，半径r2＝1，则d＝|O1O2|＝4－02＋7－02＝65r1＋r2＝3.∴这两圆的位置关系是外离．[拓展]若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0；C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时，则公共弦所在的直线方程为：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.2．圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系．常用的圆系有以下几个：(1)圆心为定点(a，b)的同心圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为定值，r是参数．(2)半径为定值r的圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中a，b为参数，r0是定值．(3)过圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线Ax＋By＋C＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．(4)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)，此圆系中不含圆C2.圆系方程表示的是满足某些条件的圆的集合，在处理有关问题时，利用圆系可使问题得到简化．同心圆系中半径变化，可得圆心相同的一系列的圆；在方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，a，b变化，就得到半径相等的一系列的圆；而过直线与圆的交点的圆系方程是常用的．在过两圆交点的圆系方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈R)中，要注意参数λ的取值以及此方程不能包括第二个圆，但可以包括第一个圆(λ＝0)．对于过两已知圆交点的圆系方程，当λ＝－1时，得到(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，此为两圆公共弦所在的直线方程．因此，如果两圆相交，两圆的方程相减就得到两圆公共弦所在的直线方程．由此可推广：经过两曲线f(x，y)＝0，g(x，y)＝0交点的曲线系方程为f(x，y)＋λg(x，y)＝0.思路方法技巧学法指导方法一：几何法求圆C1、圆C2的半径r1、r2→求|C1C2|→比较|C1C2|与|r1－r2|、r1＋r2的大小关系→结果方法二：代数法联立圆C1、圆C2的方程→整理成关于x(或y)的一元二次方程→求判别式Δ→判断Δ的符号→结果两圆的位置关系[例1]已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系．[解析]解法一：把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径r1＝10.把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径r2＝5.圆C1和圆C2的连心线的长为－2－12＋－2－42＝35，圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋10，两半径之差是r2－r1＝5－10.而5－10355＋10，即r2－r135r1＋r2.所以圆C1与圆C2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系．解法二：将两圆的方程联立得x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，①x2＋y2－2x－8y－8＝0，②由①－②得x＋2y＋1＝0.③由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0，④方程④的判别式Δ＝02－4×1×(－1)＝40，所以圆C1与圆C2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置关系．规律总结：利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置关系，不能准确地判断位置关系(如Δ＝0仅能说明两圆只有一个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ0仅能说明两圆没有公共点，但确定不了是外离还是内含，所以必须借助于图形)．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．内含[答案]C[解析]解法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1,0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝2，则连心线的长|C1C2|＝1－22＋0＋12＝2，r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，故r1－r2|C1C2|r1＋r2，两圆相交．解法二：(代数法)联立方程x2＋y2－2x－3＝0，x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，解得x1＝1，y1＝－2，x2＝3，y2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．规律总结：判断两圆位置关系的方法有两种，一是代数法，看方程组的解的个数，但往往较繁琐；二是几何法，看两圆连心线的长d，若d＝r1＋r2，两圆外切；d＝|r1－r2|时，两圆内切；dr1＋r2时，两圆外离；d|r1－r2|时，两圆内含；|r1－r2|dr1＋r2时，两圆相交.学法指导两圆相交应注意以下几点：(1)当两圆的圆心连线长介于两圆的半径差的绝对值与半径和之间时，两圆相交；(2)两圆相交时，公切线有两条；(3)求解两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去二次项即可；(4)两圆的圆心所在的直线垂直平分公共弦．两圆的公共弦问题[例2]已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．[解析](1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10.∴r1－r2|C1C2|r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)方法一：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0①x2＋y2＋2x＋2y－8＝0②两式相减得x＝2y－4③，把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4，y1＝0或x2＝0，y2＝2，∴交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.方法二：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35，∴两圆的公共弦长为2r2－d2＝250－45＝25.规律总结：(1)两圆的公共弦所在直线方程及长度求解步骤①两圆的方程作差，求出公共弦所在直线方程；②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离；③利用勾股定理求出半弦长，即得公共弦长．(2)两圆圆心的连线垂直平分两圆的公共弦．(3)两圆的公共弦长的求解转化为其中一个圆的弦长的求解．圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦所在的直线方程是________，公共弦长为________．[答案]4x＋3y－2＝010[解析]已知圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0，①圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，②①－②得24x＋18y－12＝0，即4x＋3y－2＝0.把圆C1，圆C2化成标准方程分别为圆C1：(x－6)2＋(y－1)2＝50，圆心为(6,1)，r1＝52，圆C2：(x＋6)2＋(y＋8)2＝125，圆心为(－6，－8)，r2＝55，则连心线的长|C1C2|＝6＋62＋1＋82＝15，从而r2－r1＜|C1C2|＜r1＋r2.故两圆相交．所以两圆公共弦所在的直线方程是4x＋3y－2＝0.圆C1的圆心到直线的距离d＝|4×6＋3×1－2|42＋32＝5，故公共弦长为2r21－d2＝250－25＝10.学法指导对两圆相切的认识处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论；其次，将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)问题．与两圆相切有关的问题[例3]求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．[分析]设出圆的标准方程，利用两圆外切及所求圆与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)建立方程，解出参数即可．[解析]圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)．由题意，可得a－12＋b2＝r＋1，