高中数学 §2.2 等差数列B 新人教A版必修5

第二章数列§2.2等差数列1.新课引入1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，10，15，20，…22.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)：48，53，58，63.新课引入3新课引入3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.4新课引入4.我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列：10072，10144，10216，10288，10360.548,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360问题1：观察一下上面的这四个数列：①②③④这些数列有什么共同特点呢？0,5,10,15,20648,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360问题1：观察一下上面的这四个数列：①②③④这些数列有什么共同特点呢？0,5,10,15,20以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.等差数列新课讲授),1(:*1Nnndaann即)(:*1Nndaann或8是不是不是练习一判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。（1）1，3，5，7，…（2）9，6，3，0，-3…（3）-8，-6，-4，-2，0，…（4）3，3，3，3，…（6）15，12，10，8，6，…1111(5)1,,,,,2345小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：an+1-an是不是同一个常数.是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=09探究在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。（1）2，___,8（2）-6，___,0（3）a,____,b10等差中项如果a,A,b三个数成等差数列，这时我们称A为a与b的等差中项。利用等差数列的概念可知：2baA不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.11数列：1，3，5，7，9，11，13…新课讲授5是3和7的等差中项，1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，5和13的等差中项.12问题2：你能求出前面4个数列的通项公式吗？48,53,58,6318，15.5，13，10.5，8，5.5.10072,10144,10216,10288,10360这些数列有什么共同特点呢？0,5,10,15,20如果一个数列是等差数列，它的公差是d，你能推导这个数列的通项公式吗？,1a,2a,3a,na……一般地，13daa12daa12daa233addada12da21daa344ada3da31nadna)1(1通项公式：.)1(1dnaan归纳得:等差数列的通项公式（推导一）不完全归纳法如果一个数列是等差数列，它的公差是d，根据等差数列的定义得：,1a,2a,3a,na……1421aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得1(1)naand…等差数列的通项公式（推导二）通项公式：.)1(1dnaan叠加法15等差数列的通项公式（推导三）根据等差数列的定义可得：daann1dan22dan33dna)1(1dnaan)1(1所以迭代法16等差数列的通项公式：daan项公式是那么这个数列的通公差是的首项是如果等差数列,,1dnaan)1(1在等差数列通项公式中，有四个量，，，，，nanda1知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一.17例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20∴这个数列的通项公式是：an=a1+(n-1)d=-3n+11∴a20=11-3×20=-49分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项。18练一练:1.求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项；解得：dnaan)1(1,154a,277a3910a2.100是不是等差数列2，9，16，…中的项？157)1(2100nn3.-20是不是等差数列0，-3.5，-7…中的项；)(74727)1(020舍nn解得：解得：4.已知等差数列，求：32a58ana解得：53(53)aad37nan19例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.511214101131aadaad这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？请同学们思考并做以下练习。例题123ad20练一练在等差数列中471(1)10,19,.aaad已知求与11,3ad3912(2)9,3aaa已知，求111,1ad120a211、等差数列的概念。必须从第2项起后项减去前项，并且差是同一常数。2、等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d知道其中三个（或两个）字母变量，可用列方程（或方程组）的方法，求余下的一个（或两个）变量。这节课主要讲了以下两个问题：22小结等差数列的概念1等差中项2等差数列的通项公式323