高中数学 导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义学案新人教A版

1专题课件1．1.3导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．思考1割线PPn的斜率kn是多少？答案割线PPn的斜率kn＝fxn－fx0xn－x0.思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知识点二导函数思考已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同．答案f′(1)＝limΔx→0f1＋Δx－f1Δx＝2.2f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝2x，f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数．梳理对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.特别提醒：区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数1．函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数．(√)2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．(√)3．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(×)类型一求切线方程命题角度1曲线在某点处的切线方程例1已知曲线C：y＝13x3＋43.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程解将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4)．=2|xy'＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0132＋Δx3＋43－13×23－43Δx3＝limΔx→0[4＋2Δx＋13(Δx)2]＝4，∴k＝=2|xy'＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.4反思与感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________．考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程答案－3解析∵=2|xy'＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02＋Δx2＋1－22－1Δx＝limΔx→0(4＋Δx)＝4，∴k＝=2|xy'＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.命题角度2曲线过某点的切线方程例2求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程．考点求曲线在某点处的切线方程题点曲线的切线方程解设切点为(x0，x20＋x0＋1)，则切线的斜率为k＝limΔx→0x0＋Δx2＋x0＋Δx＋1－x20＋x0＋1Δx＝2x0＋1.又k＝x20＋x0＋1－0x0－－1＝x20＋x0＋1x0＋1，∴2x0＋1＝x20＋x0＋1x0＋1.解得x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋35＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.反思与感悟过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，f(x0))．(2)建立方程f′(x0)＝y1－fx0x1－x0.(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程．跟踪训练2求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．考点求函数在某点处的切线方程题点求曲线的切线方程解设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋x0，∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－(x30－3x20＋x0)＝3x20Δx＋3x0(Δx)2－6x0Δx＋(Δx)3－3(Δx)2＋Δx，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx－6x0＋1＋(Δx)2－3Δx，∴f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝3x20－6x0＋1.∴切线方程为y－(x30－3x20＋x0)＝(3x20－6x0＋1)·(x－x0)．∵切线过原点，∴x30－3x20＋x0＝3x30－6x20＋x0，即2x30－3x20＝0，∴x0＝0或x0＝32，故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.类型二利用图象理解导数的几何意义例3已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A．0f′(2)f′(3)f(3)－f(2)B．0f′(2)f(3)－f(2)f′(3)C．0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)D．0f(3)－f(2)f′(2)f′(3)考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案C6解析kAB＝f3－f23－2＝f(3)－f(2)，f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0f′(3)f(3)－f(2)f′(2)．反思与感悟导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．跟踪训练3若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案A解析依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足．类型三求切点坐标例4已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标解对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝2x0.对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝limΔx→0gx0＋Δx－gx0Δx＝limΔx→01－x0＋Δx3－1－x30Δx＝－3x20.7由题意得2x0＝－3x20，解得x0＝0或－23.引申探究若将本例条件中的“平行”改为“垂直”，求x0的值．解∵k1＝2x0，k2＝－3x20.根据曲线f(x)＝x2－1与g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，知2x0·(－3x20)＝－1，解得x0＝3366.反思与感悟求切点坐标的一般步骤(1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．跟踪训练4直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案3227－13，2327解析设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝limΔx→0x＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1Δx＝3x2－2x，则f′(x0)＝3x20－2x0＝1解得x0＝1或x0＝－13，当x0＝1时，f(x0)＝x30－x20＋1＝1，又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去．当x0＝－13时，f(x0)＝－133－－132＋1＝2327.将－13，2327代入直线y＝x＋a中，得a＝3227.81．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)0B．f′(x0)0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在考点导数的几何意义的应用题点导数的几何意义答案B解析∵切线x＋2y－3＝0的斜率为－12，∴f′(x0)＝－120.2．设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.12C．－12D．－1考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案A解析因为f′(1)＝limΔx→0a1＋Δx2－a×12Δx＝limΔx→02aΔx＋aΔx2Δx＝limΔx→0(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)f′(xB)B．f′(xA)f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定考点导数的几何意义的应用9题点导数的几何意义答案B解析由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)f′(xB)．4．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．考点求函数在某点处的切线方程题点曲线的切线方程的应用答案－7解析设点P(x0,2x20＋a)．由导数的几何意义可得，f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02x0＋Δx2＋a－2x20＋aΔx＝4x0＝8.∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a，代入8x－y－15＝0，得a＝－7.5．已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为16，则a＝________.考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切点坐标答案±1解析∵f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx3－x3Δx＝3x2，∴曲线f(x)＝x3在点(a，a3)处的切线斜率为f′(a)＝3a2，∴切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，即y＝3a2x－2a3.令y＝0得切线与x轴的交点为23a，0，由题设知三角形面积为12a－23a|a3|＝16，10得a＝±1.111．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．一、选择题1．已知曲线y＝12x2－2上一点P1，－32，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切线的倾斜角答案B解析曲线