人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)

函数常考知识点汇总1.2.1函数的概念1、函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法（1）定义域一致；（2）表达式相同(两点必须同时具备)注意：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。1.2.2函数的表示法4、函数图象知识（Ⅰ）对称变换①将y=f(x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5②y=f(x)和y=f(-x)的图象关于y轴对称。如1xxxyayaa与③y=f(x)和y=-f(x)的图象关于x轴对称。如1logloglogaaayxyxx与6、函数的解析式A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)1.3.1函数单调性与最大（小）值1、函数的单调性定义设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；【注意】（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（或f(x1)＞f(x2)）。3、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法①任取x1，x2∈D，且x1x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：同增异减4、判断函数的单调性常用的结论⑤函数()fx、()gx都是增（减）函数，则()()fxgx仍是增（减）函数；⑥若()0,()0fxgx且()fx与()gx都是增（减）函数，则()()fxgx也是增（减）函数；若()0,()0fxgx且()fx与()gx都是增（减）函数，则()()fxgx也是减（增）函数；5、函数的最大（小）值定义（ⅰ）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最大值．6、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；1.3.2函数的奇偶性1、偶函数定义一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．【注意】②函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是即定义域关于原点对称．3、有奇偶性的函数图象特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.且f(0)=0(在原点处有意义时)4、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③作出结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；同理则是奇函数．5、函数奇偶性的性质①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数是怎样的？⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.第二章基本初等函数2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算1、根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作0n=0.【注意】(1)()nnaa(2)当n是奇数时，nnaa，当n是偶数时，,0||,0nnaaaaaa2、分数指数幂（1）正数的正分数指数幂的意义，规定：(0,,,1)mnmnaaamnNn且（2）正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)mnmnaamnNna且（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3、实数指数幂的运算性质（1）(0,,)rsrsaaaarsR（2）()(0,,)rsrsaaarsR（3）(b)(0,0,)rrraababrR2、指数函数的图象和性质0a1a1图象性质定义域R,值域（0，+∞）（1）过定点（0，1）,即x=0时，y=1(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数（3）当x0时,0y1;当x0时,y1（3）当x0时,y1;当x0时,0y12.2.1对数与对数运算1、对数的概念一般地，如果xaN，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：logaxN（a—底数N—真数）【注意】（1）注意底数的限制，a0且a≠1；（2）真数N0；2、两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数,10loglgNN记为；（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数,loglneNN记为．e≈2.713、对数式与指数式的互化logxaxNaN（1）负数和零没有对数(2)logaa=1,loga1=0，特别地，lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0（3）对数恒等式：logNaaN4、如果a0，a1，M0，N0有【有时可逆向运用公式】（1）logMNloglogaaaMN（）（2）NMNMaaalogloglog（3）loglognnaaMnM（R）（一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍）5、换底公式：loglglog0,1,0,1,0loglgcacbbbaaccbaa利用换底公式推导下面的结论①abbalog1log③loglogmnaanbbm2.2.2对数函数及其性质1、对数函数的概念函数logayx(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____2、对数函数的图像与性质对数函数logayx(a0，且a≠1)00＜a＜1aa＞1图像自己画画看性质定义域：_____值域：______过点(,)即当x＝1时,y＝在(0,+∞)上是减函数在(0,+∞)上是增函数当x1时，y____当x=1时，y____当0x1时，y____当x1时，y___当x=1时，y___当0x1时，y____【口诀】底真同大于0（底真不同小于0）.3、如图，底数a对函数xyalog的影响.规律：底大枝头低,头低尾巴翘4考点Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大小、。Ⅴ、y=ax(a0且a≠1)与y=logax(a0且a≠1)互为反函数，图象关于y=x对称。6比较大小的方法:(1)利用函数单调性(同底数)；(2)利用中间值（如:0,1.）；(3)变形后比较；(4)作差比较（5）比商判断2.3幂函数1、幂函数定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．2、幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α0时，幂函数的图象通过原点，并且在[0,+∞）上是增函数．特别地，当α1时，幂函数的图象下凸；当0α1时，幂函数的图象上凸；（3）α0时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．第三章函数的应用3.1方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标）2、函数零点的意义：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f(c)=0,此时c也是方程f(x)=0的根.4、函数零点的求法求函数y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程f(x)=0的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．5、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布两个根都在（m,n)内两个有且仅有一个在（m,n)内x1∈(m,n)x2∈(p,q)f(m)f(n)0两个根都小于K两个根都大于K一个根小于K，一个根大于Kkyxkmnpqyxnm02()0()0bmnafmfn()0()0()0()0fmfnfpfq02()0bkafkk