高中数学必做100题

必修1P(1)1.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数的函数值的集合；（2）与的图象的交点集合.参考答案：（1）……（3分），……（5分）故所求集合为.……（6分）（2）联立，……（8分）解得，……（10分）故所求集合为.……（12分）2.已知集合，，求、、、.参考答案：，……（3分），……（6分），……（9分）.……（12分）3.设全集，，.（1）求，，，；参考答案：，……（1分），……（2分），……（3分）.……（4分）（2）求，，，；解：，……（5分），……（6分），……（7分）.……（8分）（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.解：，……（9分）.……（10分）Venn图略.……（12分）4.设集合，.（1）求，；（2）若，求实数a的值；（3）若，则的真子集共有_____个,集合P满足条件，写出所有可能的集合P.参考答案：(1))①当时，，，故，；……（2分）②当时，，，故，；……（4分）③当且时，，，故，.……（6分）(2)：由（1）知，若，则或4.……（8分）(3)若，则，，故，此时的真子集有7个.……（10分）又，满足条件的所有集合有、.……（12分）5.已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示）（2）求证在上递减.参考答案：（1）要使函数有意义，则，解得.……（2分）所以原函数的定义域是.……（3分），……（5分）所以值域为.……（6分）（2）在区间上任取，且，则……（8分），……（9分）又，，……（10分），……（11分）函数在上递减.……（12分）6.已知函数，求、、的值.详解：，……（3分），……（6分）.……（12分）7.已知函数.（1）证明在上是减函数;（2）当时，求的最大值和最小值.参考答案：（1）证明：在区间上任取，且，则有……（1分），……（3分）∵，，……（4分）∴即……（5分）∴，所以在上是减函数．……（6分）（2）由（1）知在区间上单调递减，所以……（12分）8.已知函数其中．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.参考答案：（1）.若要上式有意义，则，即.……（3分）所以所求定义域为……（4分）（2）设，则.……（7分）所以是偶函数.……（8分）（3），即，.当时，上述不等式等价于，解得.……（10分）当时，原不等式等价于，解得.……（12分）综上所述,当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.9.已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若，求a，b的值.参考答案：（1）定义域为R，，故是奇函数.……（6分）（2）由，则.……（8分）又log3(4a-b)=1，即4a-b=3.……（10分）由，解得a=1，b=1.……（12分）10.对于函数.（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数.参考答案：(1)的定义域为R,设,则=,……（3分）,,……（5分）即,所以不论为何实数总为增函数.……（6分）（2）假设存在实数a使为奇函数,……（7分）即,……（9分）解得:……（12分）11.（1）已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2－1.5－1－0.500.511.52f(x)－3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围.参考答案：（1）由，，，……（3分）得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.……（6分）（2）设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以，……（8分）即，……（10分）∴．……（12分）12.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？参考答案：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为个.由于，且，得.……（3分）则日均销售利润为，.……（8分）易知，当，y有最大值.……（11分）所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.……（12分）13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量.（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？参考答案：（1）∵，，，∴为减函数.……（3分）∴随时间的增加，臭氧的含量是减少.……（6分）（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即，……（8分）两边去自然对数，，……（10分）解得.……（11分）∴287年以后将会有一半的臭氧消失.……（12分）14.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据.用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.参考答案：当选用二次函数的模型时，∵，由，有，解得，……（4分）∴.……（5分）当选用指数型函数的模型时，∵由有，解得，……（9分）∴.……（10分）根据4月份的实际产量可知，选用作模拟函数较好.……（12分）15.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式,并画出函数的图象.参考答案：（1）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，，……（4分）（2）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，……（8分）（3）当时，.……（10分）……（12分）16.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？参考答案：（1）当0≤t≤1时，y=4t；……（2分）当t≥1时，，此时在曲线上，∴，这时.……（5分）所以.……（6分）（2）∵，……（8分）解得，……（10分）∴.……（11分）∴服药一次治疗疾病有效的时间为个小时.……（12分）必修2P(1)1.圆锥底面半径为1cm，高为cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.参考答案：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示.…………………2分设正方体棱长为x，则CC1=x，C1D1。作SOEF于O，则SO，OE=1，……………………………….5分，∴，即………..10分∴，即内接正方体棱长为cm……………………….12分2.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.参考答案：由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面.……………………………………….3分S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π.故所求几何体的表面积为68π………………………………………..7分由，………9分…………………………………………….11分所以，旋转体的体积为……12分3.直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.参考答案：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为：其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为；-----------------3分体积为。………………………………………………….4分同理可求得当绕3cm边旋转时，。…………………….8分得当绕4cm边旋转时，。……………………………….12分4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.参考答案：证明：（1）在△ABD和△CBD中，∵E、H分别是AB和CD的中点，∴EHBD…………….3分又∵，∴FGBD.∴EH∥FG.分所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分（2）由（1）可知，EH∥FG，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P.……………………………9分∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，∴由公理3知PAC.………………………11分所以，三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分5.如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，求证：.参考答案：证明：连结，交于，连…………3分则由得……………………7分由得………………..10分所以………………………..12分6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（◎P79B2）求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的垂心.参考答案：（1）连，，又面，所以，面，因此。同理可证，所以B1D⊥平面A1C1B。……6分（2）连，由，得，因此点为的外心。又为正三角形，所以是的中心，也是的重心。………….………………….12分7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小.（2）参考答案：（1）∵PA⊥平面ABCD，∴AB是PB在平面ABCD上的射影.又∵AB⊥AC，AC平面ABCD，∴AC⊥PB.……4分（2）连接BD，与AC相交于O，连接EO.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点又E是PD的中点，∴EO∥PB.又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC……………………………..8分（3）取AD的中点F，的中点，连，则所以是所求二面角的平面角，且与对应相等。易知由图可知，为所求。……………12分8.已知，，，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．参考答案：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率KＡＢ＝３，……………2分.直线ＣＤ的斜率KＣＤ＝，直线ＣＢ的斜率KＣＢ＝－２，直线ＡＤ的斜率KＡＤ＝。……………………………………………………………………………8分由CD⊥AB，且CB∥AD，得，………11分所以点Ｄ的坐标是（０，１）……………………………………..12分9.求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.参考答案：因为直线ｌ经过点Ｐ（２，３），且在ｘ轴，ｙ轴上的截距相等，所以（１）当直线过原点时，它的方程为；……………………………5分（２）当直线不过原点时，设它的方程为由已知得，所以，直线的方程为。……………………………………….11分综上，直线的方程为，或者。……………..12分10.三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）.（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程；（3）求BC边的垂直平分线的方程．参考答案：（１）所以ＢＣ边上的高所在直线的斜率为又过点，所以直线的方程为即；……………………………..4分（２）BC中点坐标为,所以所在直线的方程为即。..8分（3）易知即为所求。…………………………………….12分11.在x轴上求一点，使以点、和点P为顶点的三角形的面积为10.参考答案：依设，，直线AB的方程是。……….3分在中，设AB边上的高为，则，…………..7分设，则P到AB的距离为所以，…………….10分解得或。……………………………….11分所以，所求点的坐标是，或。…….12分12.过点有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程.参考答案：如图，设直线夹在直线之间的部分是