028.解直角三角形的应用(B)要点

一、选择题1.（2014山东省临沂市，13，3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为()A．20海里B．103海里C．202海里D．30海里【答案】C2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.B15°60°75°第13题图AC东北32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.（2014浙江省嘉兴市，13,5分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为___________米【答案】7tanα2.（2014年浙江舟山，12，4分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为7tanα米（用含α的代数式表示）．考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．菁优网版权所有分析：根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC=7米，∠BAC=α，利用三角函数即可求出BC的高度．解答：解：∵BC⊥AC，AC=7米，∠BAC=α，∴=tanα，∴BC=AC•tanα=7tanα（米）．故答案为：7tanα．3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1.(2014年福建省漳州市，21，10分)将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点P时停止倒入.图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器内牛奶的高度（结果精确到0.1cm）.(参考数据：41.12,73.13)【答案】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E,交BC于点F.设BF=x.∵∠BAD=∠AEF=∠ABC=90º.∴矩形AEFB.∴AE=BF=x.在Rt△BPF中,∠BFP=90º,∠BPF=30º.∵tan∠BPF=PFBF,∴PF=xx330tan.在Rt△AEP中,∵∠AEP=90º,∠APE=90º-∠BPF=60º,PE=8-3xtan∠APE=PEAE,∴338xx,化简得x=83-3x.解得x=23≈3.5(cm).∴BF=3.5(cm)∴容器内牛奶的高度=CF=9-BF=5.5(cm).答:容器内牛奶的高度为5.5(cm)2.（2014湖北黄冈市，23，7分）（7分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A、B两船相距100（3＋1）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距离观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）【答案】解：如图，过C作CE⊥AB于E.设AE=a海里，则DE=AB－AE=100（3+1）－a（海里）.在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠EAC=60°，∴AC=021cos602AEaa海里，CE=Aetan60°=3a海里.在Rt△BCE中，BE=CE.∴100（3+1）－a=3a.ABCD45°60°75°NM∴a=100海里.∴AC=2a=200海里./在△ACD和△ABC中，∠ACB=180°－45°－60°=75°=∠ADC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC.∴ADACACAB即200200100(31)AD∴AD=200（3-1）答：A与C间距离为200海里，A与D间距离为200（3-1）（2）如图，过D作DF⊥AC于F.在Rt△ADF中，∠DAF=60°.∴DF=ADsin60°=200（3-1）×32=100（3－3）≈127＞100∴船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.3.(2014年湖北省郴州市，22，6分)某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援。当飞机到达距离海面3000米的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°。请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）【答案】解：如图，作CD⊥AB,垂足为D在Rt△BCD中∵∠B=30°，CD=3000∴BD=030tanCD=30003ABCDEF45°60°75°NM在Rt△ACD中∵∠CAD=60°，CD=3000∴AB=060tanCD=10003∴AB=BD-AB=30003-10003=20003答：此时渔政船和渔船相距20003米4.（2014年湖北省鄂州市，21，9分）（本题满分9分）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．（1）（5分）求AD的长；（2）（4分）求树长AB．第21题图【答案】解：（1）如图，过A作AH⊥CB于H，设AH=x，CH=3x，DH=x．∵CH―DH=CD，∴3x―x=10，∴x=531．∵∠ADH=45°，∴AD=2x=5652．（2）如图，过B作BM⊥AD于M．∵∠1=75°，∠ADB=45°，∴∠DAB=30°．设MB=m，∴AB=2m，AM=3m，DM=m．∵AD=AM＋DM，∴5652=3m＋m．∴m=52．∴AB=2m=102．第21题答图5.(2014广东省珠海市,17,4分)(本题满分7分)如图,一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东60°方向的B处.(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据:21.41,31.73,62.45)【答案】解:(1)过M作MDAB于点D,在RtAMD△中cos45902MDAMo小岛M与渔船AB最小距离为902海里(2)在RtMDB△中606cos30MDMBo606203632.457.357.4渔船到达小岛M的航行时间约7.4小时6.（2014江苏省淮安市，24，8分）为了一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度，在地面上选取一点C，测得∠ACB=45°，AC=24m，∠BAC=66.5°，求这棵古杉树AB的长度.(结果取整数)参考数据：21.414,sin66.50.92,cos66.50.40,tan66.52.30【答案】解：作BD⊥AC于D由∠ACB=45°知，△BDC为等腰直角三角形BD=CD设CD=x，则BD=x，AD=(54-x)m在Rt△ABD中，tan54BDxAADx即tan66.554xx解得x=37.6,ABM45°60°第17题图ABMD45°60°第17题图所以sinBDxAABABx=41答：这棵古杉树AB=41m.D7.（2014贵州省黔东南州，22，10分）（10分）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45º，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30º。已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1。5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF的长。（结果精确到0.1,参考数据：2=1.41，3=1.73.【答案】解::过点C作CM⊥EF于点M，过点A作AN⊥EF于点N，如图所示。MN则四边形CDFM和四边形ABFN都是矩形，由题意可知：∠EAN=45º，∠ECM=30º，∴MF=CD=1.75，NF=AB=1.5，CM=FD，AN=FB设EF=x，则EM=x-1.75，EN=x-1.5，在Rt△AEN中，AN=EN×cot450=x-1.5在Rt△CEM中，CM=EM×cot300=(x-1.75)×3∴FD=CM(x-1.75)×3,FB=AN=x-1.5∵FD–FB=BD∴(x-1.75)×3-(x-1.5)=6解之得x=10.3答:旗杆的高EF的长为10.38.（2014甘肃省陇南市，22，8分）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具、图（1）所示的是一辆自行车的实物图．图（2）是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm．点A、C、E在同一条只显示，且∠CAB=75°．（参考数据：sin75°=0.966，cos75°=0.259，tan75°=3.732）（1）求车架档AD的长；（2）求车座点E到车架档AB的距离（结果精确到1cm）．考点：解直角三角形的应用．菁优网版权所有分析：（1）在Rt△ACD中利用勾股定理求AD即可．（2）过点E作EF⊥AB，在RT△EFA中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．解答：解：（1）∵在Rt△ACD中，AC=45cm，DC=60cm∴AD==75（cm），∴车架档AD的长是75cm；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，∵AE=AC+CE=（45+20）cm，∴EF=AEsin75°=（45+20）sin75°≈62.7835≈63（cm），∴车座点E到车架档AB的距离约是63cm．点评：此题主要考查了勾股定理与三角函数的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．9.（2014湖南省怀化市，21，10分）两个城镇A、B与两条公路ME、MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离相等，到两条公路ME、MF的距离也必须相等，且∠FME的内部．（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）；（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2(31)km，在M处测得点C位于点M的北偏东60°方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45°方向，求点C到公路ME的距离．EFMAB第21题图解：（1）如图所示，点C即为所求：EFCMBA（2）分别作过点M，N，C作ME垂线MP，NQ，CG（G为垂足），则∠PMC=60°，∠CNQ=45°，∴∠GMC=90°－60°=30°，∠CNG=90°－45°=45°.EFPQNCMBAG设CG=xkm，则NG=xkm，MG=3xkm，∴MN=(3+1)xkm.∵MN=2(31)km，∴(3+1)x=2(31)．解得x=2.即点C到公路ME的距离为2km10.（2014甘肃省天水市，19，9分）根据道路管理规定，在羲皇大道秦州至麦积段上行驶的车辆，限速60千米/时.已知测速站点M距离羲皇大道l（直线）的距离MN为30米（如图所示）.现有一辆汽车由秦州向麦积方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°.(1)计算AB的长.(2)通过计算判断此车是否超速.lAMBN【答案】解(1)在Rt△BMN和Rt△AMN中，∵∠AMN=60°，∠BMN=45°∴AN=3MN，BN=MN，∵MN=30∴AB=AN+BN=30303(2)30303(553)6ABvt米/秒而60千米/小时=503米/秒∵505533所以没有超速.11.（2014年海南省，22，9