有关运算教学的思考

北京教科院吴正宪新课程下有关运算教学的思考关于“算理”与“算法”关系的思考什么是“算理”？什么是“算法”？如何处理“算理”与“算法”的关系？小数乘法的算理0.3×0.2=（3×2）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06=（3×0.1）×（2×0.1）运用运算定律能够保证计算结果的唯一性，这就是算理。而运算法则是人们进行计算的一个基本程序或方法，它是具有操作性的，先做什么，再做什么，最后做什么。运算法则，来自于算理；学生在做计算的时候是基于运算法则的，法则通常又要满足运算律，这就是我们平时讲课时应做到明确算理，掌握法则。算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；具体的计算方法（主要指计算法则）是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。所以，算理为法则提供理论依据，法则又使算理具体化。【案例】关于“0.3×0.2”的讨论背景：这是小数乘法单元中的一节课，在此之前学生已经会计算整数乘小数，并了解了小数点移动的规律。这节课在讨论具体小数乘小数如何计算的基础上，归纳出如何进行小数乘小数的运算。教师给学生充分思考、计算的空间，交流时学生发言热烈。课上通过一个问题情境，首先引出了0.3×0.2=？首先，学生进行了猜想。一部分学生认为是0.6，一部分学生认为是0.06，产生了分歧。学生1：我用百格图，这里的0.3米代表花园的长，0.2米表示花园的宽，（表示面积）的这些方格占百格图的百分之六，所以0.3×0.2结果是0.06.”0.2米0.3米学生2：“我还有一种方法。把0.2看成是2,把0.3看成是3,2乘3得6,因为我刚才扩大了100倍，所以我要再缩小100倍，得0.06。”学生3：“我没有这么麻烦，不用把两个数都扩大，我只把0.2扩大10倍，2×0.3得0.6,再把0.6缩小10倍，就是0.06.”学生4：“我用竖式。0.2与3相乘得06,任何数和0相乘都得0，所以0.2和0相乘得00,加起来就是0.06.”边说边写出了竖式。000.3×0.2060.06学生6：“0.3乘以0.2就是把0.3平均分成10份，取其中的两份。0.3的十分之一是0.03,也就是一份是0.03,两份就是0.06.”学生5：“我们学过两位数乘以两位数了，我看成是03乘以02,得数应当是006。小数点‘点’哪儿呢？我认为不会是00.6,如果小数点前有两个0,前边的0就没有意义了,小数点前只能是一个0,所以是0.06.”学生7：“0.2不到1，如果1乘以0.3,得0.3,而0.2比1小，它是1的五分之一，所以应当是比0.3还小。”师：这么多种方法计算这个问题，你喜欢哪一种？0.2米0.3米学生的想法这种方法非常直观，通过阴影部分与整个图的关系得出阴影占百分之六，百分之六就是0.06。这说明学生能够借助前面的经验来解决问题的，而且学生的形象思维比较丰富。在具体直观的图中，学生理解了算理。其余几个孩子的想法，都有逻辑推理的过程：像0.3乘0.2，只把0.2扩大10倍，2乘0.3是0.6，然后把0.6再缩小10倍，就是0.06，学生是在原有旧知识——0.3乘2已经掌握的基础上，探究0.3乘0.2的，最后得出结果是0.06。小数乘法学生没学过，但他们可以用直观、逻辑推理的方法来解决，这些方法都是用旧知推出新知，最后大家得出计算方法：小数乘小数的法则是先把整数相乘，然后，看它因数的小数位共有多少位，再从右边起，点出几位小数，这就是具体的计算方法。这些做法已经把算理和具体的计算方法有机地融合在一起了，不必单独拿出来给学生讲算理。作为教师，在课堂上，应该好好地保护学生这种可贵的创造精神。在案例的讨论中，有的老师提出：“要不要在这儿花那么多功夫？”。小数乘小数学生第一次接触，教师要帮助学生在解决问题过程中理解计算的道理，包括利用直观图及分析各种算法，让学生在理解的过程中明算理，掌握计算方法。老师给足学生探索的时间和空间过去教师往往是把把竖式呈现给学生，让学生模仿，只要计算正确，就算完成教学任务。这种只关注学习结果，忽视计算过程的教学就失去了学生独立思考探究的机会。丁老师在课堂上鼓励学生，让学生用自己的方法来解决问题，为学生的数学学习发展创造了良好的条件。在直观的教学中理解算理。面对学生各种各样的算法，教师精心地设问，引发了学生更深层面的思考。在横式、竖式的比较中，沟通了它们的联系，特别是在算式与直观图形的比较中，深刻地理解了算理。教师要不断学习和领悟运算中的算理；要在算理与算法有机结合方面很好地探索；使学生能够在数形结合的直观实践操作活动中，进一步感悟计算的道理，很好地掌握计算的方法。关于算法多样化的思考谈到运算教学，我们不得不面对这个话题——算法多样化。(1)算法多样化与过去提到的“一题多解”有什么不同？(2)在算法多样化的教学中，要不要给学生推荐一种最基本的方法，让全体都掌握？(3)在教学中，如何把握算法多样化与“优化”的关系？案例500－175＝?课上通过一个问题情境，引出了500－175＝?学生一共出现了5种方法：方法①：500－200=300，300＋25=325；方法②：学生画出下面的图50040020030032517510010010025方法③：500=499+1，499－175324所以500-175=325方法⑤：用竖式方法④：500+25525175+25－200325思考:我们如何面对和评价学生的多样算法？这些算法有什么价值？观点分享1.算法多样化的价值算法多样化有利于培养学生的创新精神，有利于学生的自我建构，使他们的潜能得到充分地发展；算法多样化有利于学生之间的交流，使学习资源能够共享；算法多样化有利于老师对学生的个性地了解；案例《分数除以整数》一、情境引入，独立思考班中组织联欢会，布置教室需要做彩带。如果把现有的米长的彩条，平均截成2段，每段长多少米？二、展示学生的多种方法生1：折纸的办法。生2：生3：生4：=0.8÷2=0.4现在把“平均截成2段”改为“平均截成3段”，÷3得多少呢？能不能用你们刚才的方法再来算一算。三、提出新问题生1：画图方法。四、学生再创造生2：生3：生4：生5：五、巩固练习创设情境，给学生独立思考的空间。不满足于学生多样化的算法，又设计÷3；使学生产生冲突，感到自己的方法具有局限性，从而把学生的思维引向深入。54算法多样化教学建议鼓励学生独立思考，主动探索出计算的方法（尽可能鼓励学生在纸上写一写）；在独立思考的基础上进行相互交流；精心组织好探索和交流活动,让学生在交流中学会倾听、接纳；在练习交流中允许学生再次选择有思维价值的算法；教师有责任用适当的形式向学生推荐较好的算法。比较不同方法的相同点和不同点，再次挖掘不同方法的思维价值；谢谢大家！