初中函数复习专题_适合初三学生

1初中函数复习一、基本概念1、常量和变量：在变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数：⑴定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一．．的值与它对应，我们称y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。⑵函数的表示方法：列表法、图象法和解析法。⑶自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值范围。①函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值要使被开方数是非负数；④对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。二、初中所学的函数1、正比例函数：（1）、正比例函数的定义：形如)0(kkxy的形式。自变量与函数之间是k倍的关系一般情况下，x当作自变量，y作为函数（2）、正比例函数的性质①正比例函数y=kx的图象是经过（0，0），（1，k）的一条直线。②当0k时，图象从左到右是上升的趋势，也即是y随x的增大而增大。过一、三象限。③当0k时，图象从左到右是下降的趋势，也即是y随x的增大而减小。过二、四象限。k0k0注意：因为正比例函数y=kx(k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值。2、一次函数（1）、一次函数的定义：形如)0,,(kbkbkxy且为常数的形式；自变量与常量的乘积，再加上一个常量的形式。（2）、一次函数与正比例函数的关系)0(kkxy)0,,(kbkbkxy且为常数属于正比例一次函数不属于yxoyxo2（3）、一次函数的图象性质①一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）(—k/b，0)的一条直线，也可由y=kx平移得到②当k0时，y随x的增大而增大，b0时，图象过第一、二、三象限，b0时，图象过一、三、四象限③当k0时，y随x的增大而减小，b0时，图象过第一、二、四象限，b0时，图象过二、三、四象限注意：一次函数y=kx+b(k≠0)中的待定系数有两个k和b，因此要确定一次函数的解析式需x、y的两组条件，列出一个方程组，从而求出k和b。3、反比例函数（1）、反比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，0k）的形式；x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0．（2）、反比例函数的性质①反比例函数y=kx的图像是双曲线（两个分支）②当k0时，图像的两个分支分别在第一，三象限内；在每个象限内，y随x的增大而减小③当k0时，图像的两个分支分别在第二，四象限内；在每个象限内，y随x的增大而增大k0k0④对称性：反比例函数y=kx的图像是轴对称图形，对称轴是直线y=x或直线y=—x，也是中心对称图形，对称中心是原点⑤在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1＝S2=|k|。设R是双曲线上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为A，则OAPSk21注意：因为反比例函数y=kx(k≠0)中的待定系数只有一个k，因此确定反比例函数的解析式只需x、y一组条件，列出一个方程，从而求出k值b=0b0b0yxob0b0b=0yxo34、二次函数（1）、二次函数的定义：形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数称为二次函数，其定义域是R。（2）、二次函数的解析式：①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．②顶点式：2()yaxhk（0a）；对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）③零点式（两根式）：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），其中，x1、x2是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点（或是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根）。（3）、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线.（4）、二次函数的图像的性质：①开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；②顶点坐标：；③对称轴方程：；④当0a时，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba；当0a时，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.（5）、二次函数图象的平移①保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2②平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．一定要记住！(6)、二次函数的图象与各项系数之间的关系①二次项系数a；二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．⑴当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．4②一次项系数b；在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．③常数项c⑴当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．④二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：（1）.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；（4）.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．（7）、二次函数图象的对称，当成结论重点记忆。二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达①.关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；②.关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；③.关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；④.关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5⑤.关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．（8）、二次函数与一元二次方程：①.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：(1).当240bac时，图象与x轴交于两点1200AxBx，，，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根．这两点间的距离2214bacABxxa.（中考常考，重点记忆）(2).当0时，图象与x轴只有一个交点；(3).当0时，图象与x轴没有交点.1'当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2'当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．②.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；③.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxca本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.6练习一1、小华用500元去购买单价为3元的一种商品，剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）之间的函数关系是______________，x的取值范围是__________；2、函数y=3xx的自变量x的取值范围是________；3、一根弹簧原长13厘米，它所挂的重物不能超过16千克，并且每挂重量1千克时，弹簧就伸长0.5厘米。①写出挂重后弹簧的长y（厘米）与挂重x（千克）之间的函数关系式；②求自变量的取值范围。4、如图，在边长为4的正方形ABCD的四边AB、BC、CD、DA上顺次截取AP＝BQ＝CR＝DH，得到正方形PQRH，求正方形PQRH的面积S和AP的长度x之间的函数关系式和自变量x的取值范围。5、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝22，CD＝10，AD＝16。①在斜腰BC上任取一点P，过P点作底边的垂线，与上下底分别交于E、F。设PE长为x，PF长为y。求y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；②如果SΔPCD＝SΔPAB，P点应取在什么地方？6、已知y与3x成正比例，当x=8时，y=－12，求y与x的函数解析式。7、已知2y－3与3x＋1成正比例，且x=2时，y=5,（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求a.8、一个一次函数的图象，与直线y=2x＋1的交点M的横坐标为2，与直线y=－x＋2的交点