任意角和弧度制

1.角的定义角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.AOBα始边终边顶点角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？00360~0但在实际问题中还会遇到其他角．探究一：角的形成结果；在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60度所形成的角，与按顺时针方向旋转60度所形成的角是否相等？如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说．因此，仅有0°～360°范围内的角是不够的．角的形成过程规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.１.角的方向度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到：任意大小.βB2γAB1αO对于你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？000660,150,210画图表示一个大小一定的角:(1)先画一条射线作为角的始边，(2)再由角的正负确定角的旋转方向，(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.问题1：钟表经过4小时，时针与分针各转(填度).问题２：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？－120°，450°.－120°，-1440°.探究二：象限角思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？xoy象限角：角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分别是第几象限的角？－50°xyoxyo210°xyo405°xyo－200°xyo问题３：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？象限角只能反映角的终边所在象限(位置)，不能反映角的大小.问题2：锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于90°的角是锐角吗？思考４：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？xyo探究三：终边相同的角思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？－32°－392°xyo328°0003603232800036032392与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？Zkk,3603200思考2：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.思考3：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？Zkk,3603200129°48′，第二象限角.300°，-60°.例题分析例1．在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.例2．求与3900°终边相同的最小正角和最大负角.•例2:写出终边在Y轴上的角的集合分析:首先写出在Y轴的正半轴上的角的集合,然后写出在Y轴的负半轴上的角的集合解答:终边在Y轴的正半轴上的角的集合为终边在Y轴的负半轴上的角的集合为001|90360,SkkZ002|270360,SkkZxyoxyo•所以,终边在Y轴上的角的集合为12SSS00|902180,kkZ000|901802180,kkZ00|902180,kkZ00|90(21)180,kkZ00|90180,nnZxyo巩固与提高•写出终边在X轴上的角的集合•写出终边在坐标轴上的角的集合Zkk,1800xyoxyoZkkZkk,18090,180000Zkk,900xyoxyo},360{zkk},36090{zkk小结1:终边在轴线上的角的集合xyoxyoZkk,36018000Zkk,36027000Zkk,36018000Zkk,3609000例4．用集合的形式表示象限角第一象限的角表示为第二象限的角表示为第三象限的角表示为第四象限的角表示为{|k360k360+90，（kZ）}{|k360+90k360+180，（kZ）}{|k360+180k360+270，（kZ）}{|k360+270k360+360，（kZ）}或{|k36090k360，（kZ）}小结2：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？第一象限：S={α|k·3600α900＋k·3600,k∈Z}；第二象限：S={α|900＋k·3600α1800+k·3600,k∈Z}；第三象限：S={α|1800＋k·3600α2700+k·3600,k∈Z}；第四象限：S={α|－900＋k·3600αk·3600，k∈Z}.•例3:写出终边在直线上的角的集合S,并把S中适合不等式的元素写出来yx00360720•Ｓ中适合的元素•45°—2x180°=--315°•45°—1x180°=--135°•45°+0x180°=45°•45°+1x180°=225°•45°+2x180°=405°•45°+3x180°=585°00360720S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.(确定整数k)例4：已知与240°角的终边相同，判断是第几象限的角。2110°，230°，350°.3例5．已知角θ的终边与30°角的终边关于x轴对称试在0°～360°范围内，找出与终边相同的角.弧度制一）问题的提出1、度量角的方法——度分秒制——把圆周角分为360等份——1度的角——60等份——1分的角——60等份——1秒的角.2、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的弧长一一对应.当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧长不相等./0/024443635080半径rr1=1r2=2r3=3r4=4弧长L弧长与半径的比值当n=300时练习:当n=600时呢?可以计算弧长L=180rn6632236663rL3、实验结果表明：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数.Rl642-2-4-6-8-10-10-551015终边始边θ半径弧长弧长半径136.63°2.094.982.38O拖动点增减角的大小A642-2-4-6-8-10-10-551015终边始边θ半径弧长弧长半径136.63°3.418.142.38O拖动点增减角的大小A称这个常数为该角的弧度数.能否用弧长来定义角的大小呢?42-2-4-6-8-10-55OA长度ABmÐAOB4.23厘米4.23厘米1.00000弧度拖动A改变半径BOA42-2-4-6-10-55OA长度ABmÐAOB3.10厘米3.10厘米1.00000弧度拖动A改变半径BOA二、1弧度角的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度单位符号是rad,读作弧度弧度把角度单位与长度单位统一起来.三）弧度数1、在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad的角.2、任意一个00~3600的角的弧度数必然适合不等式0≤x2π.3、任一正角的弧度数都是一个正实数；任一负角的弧度数都是一个负实数；零角的弧度数是0.弧度制下的角与实数之间的关系是怎样的呢?Rl4、用弧度来度量角，实际上角的集合与实数集R之间建立一一对应的关系：实数集R角的集合正角零角负角正实数零负实数对应角的弧度数角度制与弧度制的换算用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是，而在角度制里它是，2360rad2360因此．rad2360因为．1度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？57.301180rad0.01745rad1801rad度把化成弧度．0367例121670367解：∵rad832167rad1800367∴角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键．180把化成度．例2rad5414418054rad54解：角度弧度0601201352704265230写出一些特殊角的弧度数6453903243150180233600例3计算：（1）；（2）．4sin5.1tan4542245sin4sin解：（1）∵∴758595.855.130.57（2）∵12.147585tan5.1tan∴２.试推出弧长公式和扇形面积公式(角用弧度).;213;212;12lRSRSRl）（分析圆扇2212122222rlrrS：S:1分析,2Rl因为扇形为整个圆的所以扇形面积为圆扇形SRlS222RRllR21xyoxyo},2{zkk},22{zkk用弧度表示终边在轴线上的角的集合xyoxyoZkk,2Zkk,223Zkk,2Zkk,22（1）；（2）；（3）．1．把下列各角化成的形式：Ζkk，202316315711２．下列角的终边相同的是（）．A．4kΖkk，42与与与与B．322kΖk，3C．2kΖkk，2D．12kΖkk，3B)()12(2|.3kxxA已知66|xxBBA:则xxx0,6|或问题３：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如50°＋80°=130°，50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.问题４：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？相差：k·360°（k∈Z）第一象限的角｝＝锐角｝，的角｝　小于{G{F90{oE设，那么有（D）．的角但不小于小于00090MFMGDGEMCGEFBEGFA....2123xy、若角、满足下列条件，求它们的关系式？（）终边关于轴对称（）终边关于轴对称（）终边互为反向延长线