数学分析实数与数列极限-1-7

§1.7基本列与收敛原理2008／10／15一、列紧性定理（Bolzano—Ｗeierstrass）定理１：任意有界数列必有收敛子列.证明：（二分法）,}{bxaxnn满足设ab,],[二等分将ba的无穷多项的子区选包含}{nx，间为],[11ba此时,211abab];,[111baxn取,],[11二等分将ba的无穷多项的子区选包含}{nx，间为],[22ba此时,422abab],,[222baxn取.12nn,],[11二等分将kkba的无穷多项的选包含}{nx，子区间为],[kkba此时,02kkkabab];,[kknbaxk取,,2,1],,[构成闭区间套nbann],,[kknbaxk且由闭区间套定理，.limlim.,cbatscnnnn,knkbxak由于由夹逼定理知.limcxknn.}{收敛即knx二、柯西基本列定义},{nx对给定数列,N,0*N如s.t时，且当Nnmnm,N,*都有，nmxx.}{为基本列则称nx,,N,0*时当NnN.,N*npnxxp有对一切例１..}{,1是基本列时nqq证明：.2,,N,0*nqNnN时当对,}{,1为无穷小时因为当nqq所以,时因此当Nn1pnpnnqqqqnpqq)1(nq2.例2.证明：.121122是基本列证nan22)(1)1(10pnnaanpn))(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn)111()2111()111(pnpnnnnnnpnn111,N,11,0*pNnN则对，取,.npnaa即例3.证明：,1,12111nan设.}{不是基本列证na,N,,N,0*00*0pNnN.0000npnaa使)(1)2(1)1(1pnnnaanpn,111pnppnn,21,N2*nnnaannn对.不是基本列三、柯西收敛准则（原理）定理2：.}{}{是基本列收敛nnaa证明：)(必要性,}{aan收敛于设.2,,N,0*aaNnNn有则对,,时当Nnmnmnmaaaaaaaaaanm.22＋.}{是基本列na（充分性）,}{是基本列设na)1(有界}{na,,N,1*0时取NnN,101Nnaa11NNnnaaaa11NNnaaa11Na,1,,,,max121NNaaaaM取.,Mann有则对)2(}.{}{,innaa存在收敛子列由列紧性定理知,limaaiinn设,N',0*N则,'时当Nni,2aain,,,N,}{*时是基本列由NnmNan,2nmaa，则取一个NNnk,'maxaaaaaakknnnnaaaakknnn..limaann由例2可知：由例3可知：,131211222收敛nan.)1(,131211发散nan例4.,2,1,0,11,110nxxxnn设.215limnnx求证：证法1：)1(,2,1,0,121nxn用归纳法证：,1211正确x,121nx设则,1322111111nnxx,21111111nnxx.121nx)2()1)(1(11111111nnnnnnnnxxxxxxxx23231nnxx194nnxx121nnxx012122121xxxxnnn,211npkknknnpnxxxx11)(pkknknxx1121112121n,121nnpkkn121,,11,0时当NnN.npnxx.:是基本列即nx)3(,limAxnn设,111两端取极限得对nnxx,11AA,012AA.215A证法2：有界；,121nx)1(111111nnnnxxxx)2()1)(1(11nnnnxxxx反号！与11nnnnxxxx不单调,,122单调nnxx)3(,lim,lim122存在所以nnnnxx.}{}{122递增递减，＋nnxx用归纳法可证nnnnnxxxxx2111111112AAA21215A作业(数学分析习题集)习题1.7Cauchy收敛原理A3.(1),(2)；4；5；6.