数学分析实数与数列极限-1-8

§1.8上确界和下确界2008／10／15一、定义,,有上界是一个非空集合设E—有没有最小上界？—再小一点不再是上界；是上界；.2.1：定义1满足合是一个非空有上界的集设,E;,1xExo有.,,02xExo使存在是上界小一点不再是上界,的上确界为称E.supE记为同样满足合是一个非空有下界的集设,E;,1xExo有.,,02yEyo使存在,的下确界为称E.infE记为Supremum(上确界)，Infimum(下确界)最大下界例1.,1Ninf*,1)1,0sup(,0)1,0inf(,1n,1sup,0infnnxx①;,EE也可以确界可以②上确界与最大元的关系：;sup,aEaE那么中有最大元,中无最大元E.也可以有上确界下确界与最小元有类似关系.二、确界的一些基本性质YyXxyxYX,：①YXYXinfinf)inf(YXYXsupsup)sup(XaXainf)inf(XaXasup)sup(②)sup(supinf)inf(YXYXYX③,,nnyx数列若,nnyxnnnnyxyxinfinfsupsup则YXyxYyYyXxXxinfinfinf,inf,,0YXyxinfinf''YXYXinfinf)inf(证明：YXYXinfinf)inf(①2inf,''XxXx2inf,''YyYy}YYXXsupinf,supinf显然有YXYXinfsupsupinfYXsupsup②YXYXinfinf)inf()sup(YX③nnyxsupsup往证,sup,N*nnnyyxn.sup上界是nnxy,supsupnnyx)(sup最小上界是nnxx.infinf类似可证nnyx三、确界原理定理1:非空有上界的数集必有上确界;非空有下界的数集必有下确界.证明：,的一个上界是设E,Ex任取.],[],[11bax记为将,],[11二等分将ba].,[,],[,2222baEbaE取左区间为中点右边区间没有；取为中点右边区间有,N],,[,*nbaInnn得闭区间套重复进行,321III.02||1nnxI此区间套特点：.,],[中点右边无中点中必含有每个EbEbannn由区间套定理，.limlim,|1nnnnnnbaI其中Ⅰ.,,nbxEx必有.limnnbx是上界Ⅱ.,N,0*N,Na使,根据区间特点,],[NNNxEba中点中必有在使得.NNax.supE所以Esup下证.inf,supEE单调有界原理确界原理证明：有上界，单调增设,na,,,0aaaNN使且,时Nn}.sup{limnnnaaa例2.,,supaaaaannn且有上确界则aaaaaaannNn§1.9有限覆盖定理2008／10／16一、覆盖，若有一族开区间给定集合,,IA,IA使.A称这一族开区间覆盖了.的一个开覆盖是或称开区间族AI)1()2(的覆盖是AI,Ax总有一个开.00IxII，使区间），），（），），（如21,1(,5432,4321(,320:nnnn]2141[),10(，覆盖了，覆盖了二、有限覆盖定理定理2)(定理—BorelHeine覆盖，被一族开区间若有限闭区间Iba],[则必可从中选出有限个开区间来覆盖].,[ba证明：反证法,],[中有限个开区间覆盖不能被设Iba,],[二等分将ba不能必有一个区间],[11ba.被有限覆盖不能必有一个闭区间二等分],[,],[2211baba.被有限覆盖,],[,nnba得到闭区间套如此下去且其中.限覆盖每一个区间都不能被有知由闭区间套定理,,],[|1nnnba.limlimnnnnba且],,[ba,),(盖住中至少有一个在I.,由极限性质必有如,,NnN,nnba),(],[nnba矛盾！可少！区间的有限性、闭性不,),1(,2,1)},,0{(的开覆盖是nn.无有限覆盖,(0,1),3,2)},1,1{(的开覆盖是nn.无有限覆盖注意：单调有界定理确界定理闭区间套定理有限覆盖定理列紧性定理Cauchy收敛定理三、实数系统六定理等价性作业(数学分析习题集)习题1.8上确界和下确界A1(3),(5);2；3；5.