网络名师小班辅导教案-初中数学第13讲轴对称及将军饮马问题教师版

2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page1of19板块考试要求A级要求B级要求C级要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；能运用轴对称进行图案设计轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如下图，ABC是轴对称图形．两个图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．如下图，ABC与'''ABC关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C是对称点．知识点睛中考要求第十三讲轴对称及“将军饮马”问题2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page2of19轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：对称轴的性质：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线．线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如图，点P是线段AB垂直平分线上的点，则PAPB．线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．成轴对称的两个图形的对称轴的画法：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．成轴对称的两个图形的主要性质：①成轴对称的两个图形全等②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线轴对称变换的方法应用：轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上，使图形中的分散条件和结论有机地联系起来．常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对称变换的思想．轴对称变换应用时有下面两种情况：⑴图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换；轴对称图形两个图形轴对称区别图形的个数1个图形2个图形对称轴的条数一条或多条只有1条联系二者都的关于对称轴对称的2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page3of19⑵图形中有垂线条件时，可考虑用此变换．板块一、轴对称与轴对称图形的认识【例1】下列”QQ表情”中属于轴对称图形的是()A．B．C．D．【解析】C【巩固】(08年广东省)下列图形中是轴对称图形的是()【解析】C重点：理解轴对称的概念，并且熟悉掌握轴对称的性质以及作图，同时理解轴对称变换的概念，能很好的做出轴对称变换的图形，并能很好的利用轴对称的知识来解决题目难点：运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的生活中的实际运用重、难点例题精讲2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page4of19【例2】(09湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解析】Ｄ【巩固】(2004泸州)下列各种图形不是轴对称图形的是()【解析】C．【巩固】(2003吉林)下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形__________；理由是__________．【解析】②;四个图形中，只有图②不是轴对称图形．【例3】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称．【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10成轴对称的图形有：2，5，7，92010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page5of19【例4】(09黑龙江哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【解析】D【巩固】(2004北京)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．等腰三角形B．等腰梯形C．正方形D．平行四边形【解析】C【例5】(2003四川)我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心对称图形的是()【解析】C【例6】(2003北京市海淀区)羊年话”羊”字象征着美好和吉祥，下列图案都与”羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是()A．1；B．2；B．3；D．4【解析】B【巩固】⑴(08山东省青岛市)下列图形中，轴对称图形的个数是()A．1B．2C．3D．4⑵如图所示的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有()A．1个B．2个C．3个D．4个2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page6of19【解析】⑴B；⑵Ｃ【例7】(上海)正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．【解析】6．点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴．【巩固】(2003河北省)下列图案中，有且只有三条对称轴的是()【解析】D【巩固】⑴(08苏州)下列图形中，轴对称图形．．．．．的是⑵下列图形中对称轴最多的是()A．圆B．正方形C．等腰三角形D．线段【解析】⑴D；⑵Ａ【例8】作出下图所示的图形的对称轴：【解析】答案见右上图．2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page7of19【巩固】作出下图所示的成轴对称图形的对称轴：【解析】答案见右上图．【例9】求作线段AB的垂直平分线BA【解析】略【例10】已知：如图，ABC及两点M、N．求作：点P，使得PMPN，且P点到ABC两边所在的直线的距离相等．NMCBA【解析】因为是两边所在的直线，所以有两个答案．答案一：ABC内角平分线与线段MN的垂直平分线的交点PNMCBA答案二：ABC外角平分线与线段MN的垂直平分线的交点2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page8of19CPBANM【例11】(2003长沙)如图，请根据小文在镜中的像写出他的运动衣上的实际号码：_______．【解析】108【例12】(2004河南)如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若ABCD，有下面的结论：①ABCD∥②ACBD③AOOC④ABBC，其中正确的结论有_______．lODCBA【解析】①②③【巩固】(2003安徽)如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果ADBC∥，有下列结论：①ABCD∥②ABBC③ABBC④AOOC．其中正确的结论是_________．(把你认为正确的结论的序号都填上)2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page9of19lODCBA【解析】①、②、④【例13】(2003南宁市)尺规：把右图(实线部分)补成以虚线L为对称轴的轴对称图形，你会得到一只美丽蝴蝶的图案(不用写作法、保留作图痕迹)．【解析】答案见右上图．板块二、轴对称的应用【例14】如图，ABC和'''ABC关于直线l对称，且90B，''6cmAB，求'B的度数和AB的长．LC'B'A'CBA【解析】∵ABC和'''ABC关于直线l成轴对称∴'BB，''ABAB；又∵90B，''6cmAB∴'90B，6cmAB．2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page10of19【例15】如图，有一块三角形田地，10cmABAC，作AB的垂直平分线ED交AC于D，交AB于E，量得BDC的周长为17m，请你替测量人员计算BC的长．【解析】∵ED垂直平分AB∴DADB，∵17mBDDCBC，∴17mADDCBC∵10mAC，∴7mBC．【巩固】如图，ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，5BE厘米，BCE的周长是18厘米，则BC等于多少厘米？EDCBA【解析】∵ED垂直平分BC∴EBEC，∵BEC的周长为18cm∴8cmBC．【例16】如图，已知40AOB，CD为OA的垂直平分线，求ACB的度数．ODCBA【解析】∵CD垂直平分OA∴COCA∴OA∵40O∴40A∴80ACBAO．2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page11of19【例17】(2004陕西)已知：如图，在ABC中，2ABBC，120ABC，BC平行于x轴，点B的坐标是(3,1)．⑴画出ABC关于y轴对称的'''ABC；⑵求以点A、B、'B、'A为顶点的四边形的面积．【解析】⑴画图正确⑵过A点作ADBC，交BC的延长线于点D，则18060ABDABC，在RtABD中，BD＝AB·cos∠ABD＝2×12＝1AD＝AB·sin∠ABD=2×32＝3又知点B的坐标为(-3，1)可得点A的坐标为413，∵'AAy轴，'BBy轴∴''AABB∥∵AB与''AB不平行∴以点''ABBA，，，为顶点的四边形是等腰梯形由点A、B的坐标可求得'248'236AABB，∴梯形''ABBA的面积＝12(AA′+BB′)·AD＝12×(8+6)×3=73．2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page12of19板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例18】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．【解析】点B与点A重合，或者点B是点A关于直线l的对称点．【例19】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B，现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理？aBA【解析】答案见右上图．【巩固】若此题改成，在a上找到M、N两点，且10MN，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短．aBABNMB''AaB‘【解析】见右上图．【例20】(”五羊杯”邀请赛试题)如图，45AOB，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page13of19点)，求作Q、R，使得PQR的周长的最小．POBARQPOBA【解析】见右上图．【巩固】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最短．NMCBA【解析】见右上图．【例21】(2000年全国数学联赛)如图，设正ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PAPM的最大值和最小值分别记为s和t．求22st的值．MPCBAM'MPCBA【解析】作点M关于BC的对称点'M，连接'AM、'PM．由点M、'M关于BC对称可知，'PMPM．故''PAPMPAPMAM≥当且仅当A、P、'M共线时，等号成立，故22(')7tAM．另外两个临界位置在点B和点C处．2010年·暑假初二数学·第13讲·教师版page14of19当点P位于点C处时，23PAPMACCM；当点P位于点B处时，3PAPMABBM．故22(23)743s，2243st．本题也可作点A关于BC的对称点'A，连接'AM、'PA．【例22】已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小．PM'MOBAMOBA【解析】见右上图．【例23】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得||AMBM最小．【解析】见右上图．【巩固】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得||BMAM最大．【解析】见右上图．【例24】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD中，8AB，M是DC上的一点，且2DM，N是AC上的一动点，求DNMN的最小值与最大值