经济高数实验二

经济类高等数学实验课理学院·数学系第二讲一、实验目的•掌握利用Mathematica软件求极限的方法，加深对极限概念的理解，了解函数极限与左右极限间的联系，进一步理解无穷小的概念和收敛速度问题；•熟练掌握用Mathematica软件求显函数导数与微分的方法；•掌握隐函数以及由参数方程确定的函数的求导方法；•一般掌握用Mathematica软件求函数极值的近似值的方法。二、实验内容1.用Mathematica求函数极限：命令的一般形式是Limit[f[x],x-a]（其中f[x]是数列或者函数的表达式，x-a是自变量的变化趋势。如果自变量趋向于无穷，用x-Infinity来表示。）示例：i.输入Limit[x^3+Sqrt[1+2x^2],x-1]输出1＋ii.输入Limit[（n^2+n）^(1/3)/(n+2),n-Infinity]输出0iii.输入Limit[(Tan[x]-Sin[x])/(Sin[x])^3,x-0]输出312验证重要极限绘制图形Plot[(1+1/x)^x,{x,10,1000}]输出为求极限Limit[(1+1/x)^x,x-Infinity]输出为exxx)11(lim20040060080010002.622.642.662.682.72.722.左右极限的计算对于单侧极限，通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向。i.求右极限时：Limit[f[x],x-a,Direction--1];ii.求左极限时：Limit[f[x],x-a,Direction-1];iii.求时的极限：用Limit[f[x],x-Infinity,Direction-+1];iv.求时的极限：用Limit[f[x],x-Infinity,Direction--1];(注意：右极限用减号，表示自变量减少趋向于a。)xx•观察函数，并确定其当时的极限。分别输入：Plot[ArcTan[x],{x,-5Pi,5Pi}]Limit[ArcTan[x],x-Infinity,Direction-+1]Limit[ArcTan[x],x-Infinity,Direction--1]arctanyxx3.无穷小收敛速度的比较（i）与（ii）与首先在同一坐标系内作出每组函数的图形Plot[{x^2,2x},{x,-0.1,0.1},PlotStyle－{RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]Plot[{1-Cos[2x],x^2},{x,-0.1,0.1},PlotStyle－{RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]从图形中容易看到无穷小趋于零的快慢。再输入：Limit[x^2/（2x）,x-0]输出：0Limit[(1-Cos[2x])/x^2,x-0]输出：22x2xx2cos12x温馨提示：由于Mathematica软件版本的限制，有些极限在Mathematica4.0中可能不能计算，但对于Mathematica5.0则都可以完成。4.用Mathematica软件求一元函数的导数与微分：•在Mathematica软件中，可用命令D求函数的导数，其基本形式是D[f[x],x]例：D[Log[x],x]D[ArcTan[6x-1],x]•若要求f[x]在x=a处的导数，只要将x=a赋给上面的导函数便可得到，或直接使用命令D[f[x],x]/.x-aD[ArcTan[(6x-1)^(1/2)],x]/.x-1例：设，求和输入D[Sin[2x]*Cos[5x],x]输出2Cos[2x]Cos[5x]-5Sin[2x]Sin[5x]再输入%/.x-Pi/4输出()sin2cos5fxxx()fx()4f52•若求f[x]对x的n阶导，则使用命令D[f[x],{x,n}]例求函数的三、七、八阶导数。输入D[Exp[x]Sin[2x],{x,3}]D[Exp[x]Sin[2x],{x,7}]D[Exp[x]Sin[2x],{x,8}]sin2xyex•求函数微分的命令是Dt，其基本形式是Dt[f[x]]例：求函数的微分。输入Dt[x^Log[x]]输出lnxyx1[]2[][]LogxxDtxLogx5．隐函数的导数•在Mathematica软件中求方程的解的命令是Solve。其格式是Solve[f[x]==0,x]（方程中的等号要用双等号来表示。其输出形式形如，其中a就是x的解。）}}{{ax例：求由方程确定的隐函数的导数，其中为自变量。解首先方程左右两侧同时对求导，并将求导后的方程命名。输入a1=D[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1==0,x]然后在此方程中以为自变量求方程的解。输入Solve[a1,y'[x]](注意：在输入方程表达式时，要把函数写做，表示是的函数。)2222210xxyyxyxxx[]yxyyyx如求二阶导数，则只需a2=D[2x^2-2x*y[x]+y[x]^2+x+2y[x]+1==0,{x,2}]Solve[a2,y''[x]]/.%%（后一条语句表示求二阶导数时把一阶导数值代入）。6．求函数的极值（i）例求一元函数的极值。解①定义函数：f[x_]=2x^3-6x^2-18x+7；②求导：diff=D[f[x],x]；③求驻点：Solve[diff==0,x]，求得其两根为-1和3；④求函数的二阶导数：diff2[x_]=D[f[x],{x,2}]；⑤计算驻点处的二阶导数值：diff2[-1],diff2[3]；⑥根据驻点处的二阶导数值判断其极大、极小值点；⑦计算极值：f[-1],f[3]。3226187yxxx6．求函数的极值（ii）•Mathematica中求极值的命令格式为：FindMinimum[f[x],{x,a}]（求极小值）FindMaximum[f[x],{x,a}]（求极大值）（本命令能够确定函数在初值a附近的极值的一个近似值。）例求函数的位于区间内的极值的近似值。解首先画出函数的图形，以确定初值的大概位置Plot[2(Sin[2x])^2+5/2x*(Cos[x/2])^2,{x,0,Pi}]输出2252sin(2)cos()22xyxx0,0.511.522.530.511.522.533.5观察函数图形，发现在x=1.5附近有极小值，在x=0.6和x=2.5附近有极大值，所以输入：FindMinimum[2(Sin[2x])^2+5/2x*(Cos[x/2])^2,{x,1.5}]输出为{1.94461,{x-1.62391}}即极小值点为x=1.62391，极小值为1.94461。再输入FindMaximum[2(Sin[2x])^2+5/2x*(Cos[x/2])^2,{x,0.6}]FindMaximum[2(Sin[2x])^2+5/2x*(Cos[x/2])^2,{x,2.5}]输出为{3.73233,{x-0.864194}}{2.95708,{x-2.24489}}Yourwork（i）完成本次课实验报告（ii）实验习题二中作业题