极限存在准则与两个重要极限

第六节极限存在准则与两个重要极限一极限存在的两个准则二两个重要极限三小结与思考判断题1.夹逼准则(两边夹定理）定理Ⅰ如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.证,,azaynn因为使得,0,0,021NN一极限存在准则,1ayNnn时恒有当},,max{21NNN取,ayan即,2azNnn时恒有当,azan上两式同时成立,恒有时当,Nn,azxyannn,成立即axn.limaxnn上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′如果当)(00xUx(或Mx)时,有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx那末)(lim)(0xfxxx存在,且等于A.注意:.,的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy准则和准则称为夹逼准则.I'I例1).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼准则得.1)12111(lim222nnnnnx1x2x3x1nxnx2.单调有界准则满足条件如果数列nx,121nnxxxx单调增加,121nnxxxx单调减少单调数列准则Ⅱ单调有界数列必有极限.几何解释:AM证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去).2131limnnx.)n例2(的极限存在式重根证明数列333nxAC二、两个重要极限1、1sinlim0xxxxoBD)20(,,xxAOBO圆心角设单位圆,tan,,sinACxABxBDx弧于是有.ACO，得作单位圆的切线,xOAB的圆心角为扇形,BDOAB的高为,tansinxxx,1sincosxxx即.02也成立上式对于x,20时当xxxcos11cos02sin22x2)2(2x,22x,02lim20xx,0)cos1(lim0xx,1coslim0xx,11lim0x又10xxxsinlim246810-0.20.20.40.60.81-10-8-6-4-2-0.20.20.40.60.81的图象xxsin述极限的一般形式：利用变量代换可导出上;1)()(sinlim0)(xxx例3（1）.cos1lim20xxx求解2202sin2limxxx原式220)2(2sinlim21xxx20)22sin(lim21xxx2121.21（2）.tanlim0xxx求2、exxx)11(lim定义ennn)11(limnnnx)11(设21!2)1(1!11nnnnn).11()21)(11(!1)11(!2111nnnnnnnnnnnnn1!)1()1(,1时当x,1][][xxx有,)][11()11()1][11(1][][xxxxxx)][11(lim)][11(lim)][11(lim][1][xxxxxxxx而,e11][][)1][11(lim)1][11(lim)1][11(limxxxxxxxx,e.)11(limexxx).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(!21111nnnnnnnnnnnxn,1nnxx显然;是单调递增的nx!1!2111nxn1212111n1213n,3;是有界的nx.lim存在nnxennn)11(lim记为)71828.2(e类似地,,xt令ttxxtx)11(lim)11(limttt)111(lim)111()111(lim1tttt.eexxx)11(lim,1xt令ttxxtx)11(lim)1(lim10.eexxx10)1(lim述极限的一般形式：利用变量代换可导出上exxx)(10)))(1lim（（注意这个极限的特征：底为两项之和，第一项为1，第二项是无穷小量，指数与第二项互为倒数。例4.)11(limxxx求解xxx)11(1lim1])11[(limxxx原式.1e例5.)23(lim2xxxx求解422)211(])211[(limxxxx原式.2e1.两个准则夹逼准则;单调有界准则.2.两个重要极限;1sinlim10某过程.)1(lim210e某过程,为某过程中的无穷小设三、小结与判断思考题小结思考题求极限xxxx193lim思考题解答xxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e