第二讲效用和预期效用理论

第二讲效用和预期效用理论主要内容：„效用、无差异曲线、偏好关系„圣彼得堡悖论、VonNeumann-Morgenstern期望效用理论、主观预期效用„Allais悖论、偏好逆转、框架效应„对预期效用理论的修正：非预期效用模型、扩展效用模型、非传递性效用模型„效用：商品满足人的欲望的能力和消费者在消费商品时所感受到的满足程度。…基数(cardinalnumber)效用：边际效用分析方法„总效用（TOTALUTILITY，TU）：消费者在一定时间内从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和„边际效用（MARGINALUTILITY，MU）：消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量…序数(ordinalnumber)效用：无差异曲线分析方法„希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的顺序，并非效用的绝对数值。现在比较通用的是序数效用。„效用原理案例：幸福感并不会与财富同步增长„无差异曲线（Indifferencecurve）…含义：无差异曲线表示对消费者没有区别的商品组合的点的轨迹。即无差异曲线是用来表示两种商品或两组商品的不同数量的组合对消费者所提供的效用是相同的。…股市中含义：无差异曲线是对一个特定的投资者而言，根据他对期望收益率和风险的偏好态度，按照期望收益率对风险补偿的要求，得到的一系列满意程度相同的（无差异）证券组合在均值方差（或标准差）坐标系中所形成的曲线。…关于消费者偏好的基本假定„偏好的完全性„偏好的可传递性„偏好的非饱和性…无差异曲线的特征„无差异曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜的曲线，其斜率为负值，它表明在收入与价格既定的条件下，为了获得同样的满足程度，增加一种商品消费时就必须放弃或减少另一种商品的消费。两种商品在消费者偏好不变的条件下，不能同时减少或增多。„在同一平面图上有无数条无差异曲线，同一条无差异曲线代表同样的满足程度，不同的无差异曲线代表不同的满足程度，离原点越远，满足程度越大，反之则越小。„在同一平面图上，任意两条无差异曲线不能相交，否则与第二点矛盾。…边际替代率及其递减规律„边际替代率（MRS：marginalrateofsubstitution）的定义：是消费者在保持相同满足程度时增加一种商品数量与必须放弃的另一种商品数量之比，如为增加X就要放弃Y，增加的X商品数量△X与所放弃的Y商品的数量△Y相比就是边际替代率，写作MRSxy：MRSxy=△Y/△X„边际替代率递减规律的含义MRS实际上是无差异曲线的斜率，无差异曲线的斜率逐渐减少，说明其是一条凸向原点的曲线。边际替代率递减规律：等同于边际效用递减规律无差异曲线一般情形：无差异曲线特殊情形：边际替代率是0或∞，表明此消费者边际替代率是一个常数，表示消费者认为两种商品完全不能替代，即互补，认为两种商品完全替代，此时无差异曲线为折线此时无差异曲线为直线第二讲效用和预期效用理论„偏好关系（PreferenceRelations）…严格偏好关系（强偏好关系）：消费集X上的二元关系被定义如下：，当且仅当且时，则关系被称为由引出的严格偏好关系（强偏好关系）。读为“严格偏好于”。…无差异关系：消费集X上的二元关系～被定义如下：～，当且仅当且时，关系～被称为由引出的无差异关系。读为“同无差异”。21xxff21xxf12xxf/ff1x2x1x2x21xxf12xxff1x2x第二讲效用和预期效用理论„偏好关系（PreferenceRelations）…定义：消费集X上的二元关系，用“”表示，若，我们称对于消费者“与至少一样地好”。若该二元关系满足如下公理：完备性：对于任意属于X集的两个选择与，要么，要么。传递性：对于属于X集的任何三个元素、与，如果且，则。那么它被称为一种偏好关系。f21xxf1x2x1x2x21xxf12xxf1x2x3x21xxf32xxf31xxf„圣彼得堡悖论…1728年，NecholasBernoulli设计了如下实验：假定一人重复向上抛一枚质地均匀的硬币直到它正面朝上，假如扔一次就正面朝上获2美元报酬，如果扔第二次时正面朝上就获美元，扔第三次时就获美元，依此类推。N.Bernoulli问：人们愿意出多少钱去玩这个游戏？答案：2~3美元。42=82=32…参加者可能赢钱的数学期望：∞=+×+×+×L3322212212212第二讲效用和预期效用理论„VonNeumann-Morgenstern期望效用理论…效用函数u(x)：也称满意度函数或者幸福函数„微观经济学中的效用函数：„经济学意义：…，多多益善假设，即消费品数量越多效用越大假设…，边际效用递减假设，或者叫消费有够假设„保险经济学中的效用函数：„对风险的态度与效用函数之间的关系：…u(x)为凹函数（）：风险厌恶…u(x)为凸函数（）：风险喜好…u(x)为线性函数ax+b的形式：风险中性0)x(''u,0)x('u,Rx),x(u∈0)x('u0)x(''u0)x('u,Rx),x(u∈0)x(''u,0)x('u0)x(''u,0)x('u第二讲效用和预期效用理论„VonNeumann-Morgenstern期望效用理论…效用期望值（期望效用）„对于连续型随机变量X，可以用其对应的概率密度函数f(x)计算效用期望值„对于离散型随机变量X，可以用其对应的概率分布列计算效用期望值„例2-1假设某企业拥有价值200万元的厂房，厂房发生火灾的概率为0.001，不发生火灾的概率为0.999。如果保险公司甲愿意接受该企业的风险转移，即保险事故发生时，保险公司赔付200万元，但该企业需交纳保费P1=0.25万元；保险公司乙提出绝对免赔额10万元，而要求的保费是P2=0.22万元。则该企业有三种方案：a)自留风险；b)投保保险公司甲；c)投保保险公司乙。若，计算三个方案的效用期望值。]b[a,x,dx)x(f)x(u)]X(E[uba∈=∫∑•=iii)x(up)]X(E[ux2000000)x(u−=第二讲效用和预期效用理论„VonNeumann-Morgenstern期望效用理论…效用期望值（期望效用）„例2-1解：40.14131022002000000001.022002000000999.0)]X(E[u1413.3325002000000001.025002000000999.0)]X(E[u80.141220000002000000001.002000000999.0)]X(E[u321=−+−==−+−==−+−=第二讲效用和预期效用理论„VonNeumann-Morgenstern期望效用理论设D为一个行为主体所有可能选择组合结果的集合当行为主体对不同的选择组合（因而对与其对应的概率分布）的偏好满足如下公理：(1)保序性公理：(2)中值性公理：(3)等价关系的独立性公理：则存在一个效用函数u(x)对应该行为主体对选择组合的偏好，并且该行为主体对选择组合的评价是按效用期望值做出的。jijijijiD)1(DD)1(D],1,0[,,DD,DD,Dαββα⇔β+−βα+−α∈∈∀ff则kijkjikjiD)1(D~D),1,0(|,DDD,DD,D,Dγγγ−+∈∃∈∀使得则且ffkjkijikjiD)1(D~D)1(D,D~D],1,0[,DD,D,Dλλλλλ−+−+∈∀∈∀那么如果„主观预期效用…主观概率：就是一个给定决策者对某些事件发生可能性的主观判断。…1954年萨维奇（Savage）提出并构建了主观预期效用理论（简称SEU）。„人们在不确定条件下的决策主要依据由主观概率进行度量的预期效用进行。主观概率具有一般客观概率的全部性质，特别是它们服从条件概率的一般规则。如果一个人的行为满足主观概率存在的公理约束，则这些概率满足贝叶斯定律。贝叶斯定律说明了理性决策者如何根据事实（或依所得到的信息）来调整和修正他的主观概率判断。要求同一个人对同一事物的概率判断应当一致。„阿莱（MauriceAllais）悖论…阿莱悖论对预期效用的独立性公理提出了挑战。阿莱设计了如下实验：组合一：A.100%的机会得到100万美元B.10%的机会得到500万美元，89%的机会得到100万美元，1%的概率得到0美元。组合二：A′.11%的机会得到100万美元，89%的机会得到0美元；B′.10%的机会得到500万美元，90%的机会得到0美元。问在两种不同组合下人们的偏好如何？第二讲效用和预期效用理论„阿莱（MauriceAllais）悖论…实验结果：在组合一中，大多数人偏好A而不是B；在组合二中，大多数人偏好B′而不是A′，即和。…理论上：由于由组合一可得：由组合二可得：)0(u9.0)500(u1.0)'B(u)0(u89.0)100(u11.0)'A(u)0(u01.0)100(u89.0)500(u1.0)B(u)100(u)A(u×+×=×+×=×+×+×==)()(BuAu)'()'(AuBu)0(01u.0)500(1u.0)100(11u.0+)0(01u.0)500(1u.0)100(11u.0+„偏好逆转…昀初由心理学家Lichtenstein和Slovic（1971）提出来…偏好逆转实验中的一个重要发现是“接受意愿”与“支付意愿”之间存在较大差异，即让人在对某种经济利益进行定价时，人们愿意支付的昀大值，通常会与人们放弃该利益所愿意接受的补偿额之间存在差异…1980年Mowen和Gentry更发现，在可以进行联合决策的集体中，比个人显示出更强的偏好逆转的倾向。…对于偏好逆转现象的解释，经济学家认为可能存在三种原因：„一是偏好逆转是由于违反了预期效用的传递性公理所引起的„二是偏好逆转是由于违反了预期效用的独立性公理所引起的„三是偏好逆转可能是由于违反了复合彩票公理所引起的„框架效应：是指两个实质上完全相同的问题，因为问题的构建或陈述方式不同，而造成人们决策结果发生系统性改变的现象。„亚洲疾病模型（Tversky和Kahneman,1981）假设有种罕见的亚洲疾病正在美国流行，预计将会有600人死亡，研究提出两种方案供选择，两种方案分别采用正面或负面的描述方法：（1）正面描述A方案：将有200人获救B方案：将有1/3的概率拯救600人，2/3的概率没有任何人获救。（2）负面描述C方案：会有400人死亡D方案：有1/3的概率没有任何人死亡，2/3的概率600人都会死亡。…实验分析：比较A、B、C、D四种方案可以发现，A方案实际上与C方案相同，B方案实际上与D方案相同。…实验结果：选择A方案的有72%，选择B方案的有28%；但在负面描述中，22%的人选择C方案，78%的人选择D方案。…实验表明：仅仅由于描述方式的改变，导致人们偏好从厌恶风险的选项转向喜好风险的选项…框架效应表明预期效用的不变性规范虽然在理论上是重要的，但在实际中往往会存在偏差。Kahneman和Tersky认为要想避免框架效应，只有两种方法：…一是采用同一程序，将任何问题的描述转换为同样规范的表达；…二是根据实际而不是心理的结果来评价选项。第二讲效用和预期效用理论„非预期效用模型…改进预期效用函数的概率线性假设，提出“非线性预期”)p()x(uiiπ∑()()()∑∑iiippxuππ()()∑∑iiiipxvpxu)]ppp(g)ppp(g[)x(u1-i21i21iLL++−++∑2iiii)p)x(v(p)x(u∑∑+第二讲效用和预期效用理论„扩展效用模型…弱独立性公理(Chew和Macrimmon,1979；Weber,1982)对于任意选择X、Y和Z，如果，则对任意,使得对于所有的Z均成立。相应地，其预期效用表达式为：…可以解释阿莱悖论等几个经典违背预期效用公理的现象。YXf)1,0(∈pZppXZpp)1()1(Y−+−+f∑∑∑=)()()()(iiiiiiixwpxuxwpxpU…Fishbrun（1982，1983，1988）提出了“斜对称双线型效用理论”（简称SSB）∑∑==*),()(*UxupxpUUiiii效用函数表示结果的效用，