数学分析第1章

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]数学数学而且是一种思维模式;不仅是一种知识,而且是一种素养;不仅是一种科学,而且是一种文化;能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志.不仅是一种工具,数学一、简明数学史2、初等(常量)数学时期(公元前600~1750年)古希腊数学科学地位独立；欧氏“几何原本”确立数学成完整科学；初等几何、算术、代数、三角等成独立学科。3、高等（变量）数学时期(1750年~1820年)笛卡尔创建了解析几何；牛顿-莱布尼兹创建了微积分学；分析学、微分方程、概率论、射影几何取得很大成就。4、近代数学时期(1820年~1945年)非欧几何、集合论导致科学革命；拓扑学、数理逻辑、复变函数、近世代数、泛函分析、微分几何相继问世。5、科学数学化时期(1945年~)原子弹、电子计算机、运筹学、模糊数学、数学建模。马克思：只有成功运用数学时，一门学科才算真正完善。1、数学萌芽(数形)时期(公元前2000~公元前600)贸易、测量、航海的需要而整理形成，如埃及金字塔的建筑。特点：片断、零散、缺乏逻辑、没有形成体系。1、训练思维的需要（数学是思维体操）；2、经济与科技发展的需要（科技是第一生产力，数学是科技的基础）；3、军事斗争的需要（世一战为化学战、世二战为物理战、海湾战争为数学战）；5、未来从事科学研究的需要（数学位于三大重点基础学科之首，为此硕士研究生入学考分数由100→150）。4、数学是科学技术的载体，为学习后继课程提供必须的数学工具（物理、计算机、电子、机械、经济、运筹、统计、会计等等）；二、为何要学数学整理笔记、完成作业、查阅参考书、使用工具书；1、树立自信，亲近数学；2、抓好四个环节，突出两个重点；3、重视独立思考，依靠自学取胜；预习环节听讲环节复习环节小结环节会作笔记(概要,重点,难点,疑点)、紧跟讲解、擅于应答。了解大致内容、熟悉基本结构、找出难点、试图解决之写总结（定义、定理、性质、典型解题方法）；制表格(条件、性质、结论、几何意义)。三、如何学好数学；四.数学分析简介•数学分析是高等学校数理科学专业的一门专业基础课，通过本课程的教学使学生对极限思想和方法有较深刻的认识，使学生的思维能力得到锻炼和提高。特别是基于强化基础、偏重一元微积分系统知识的教学，学生应能正确理解数学分析的基本概念，基本掌握数学分析中常用的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用的能力。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生数学基本功的训练与良好专业素质的培养起着十分重要的作用。五.数学分析与其它课程关系•数学分析与另外两门基础课（高等代数、解析几何）相互协调，并以其自身为主干构成现代数学各分支的共同基础。几乎所有专业课都需要该课程的支撑。其后续课程主要有实变函数、复变函数、泛函分析、点集拓扑等。它是学习常微分方程、偏微分方程、概率论、数学模型等应用性较强课程必备的直接基础，也对数值计算、数学实验、逻辑学、计算科学等学科的学习有着潜在的深远影响。六.课程学时与总分•课程总学时224学时，14学分，•具体分配如下：•第一学期《数学分析（1）》88学时，5.5学分•第二学期《数学分析（2）》88学时，5.5学分•第三学期《数学分析（3）》48学时，3学分变量数学分析的主要内容数学分析函数极限方法极限论微分学积分学级数论（单变量和多变量）工具基础中心对象对象变动观点关系内容教材及参考资料•1.教材：数学分析（第三版），欧阳光中，高等教育出版社•2.参考资料•1）《数学分析讲义》（第三版），刘玉链等编,高等教育出版社,1992•2）《数学分析学习指导》（上、下册），吴良森等编，高等教育出版社，2004•3）《数学分析的思想方法》，朱匀华等编，中山大学出版社，1998•4）《吉米多维奇数学分析习题集解答》，山东科技出版社，1983第一章变量与函数§1实数§2函数的概念§3复合函数与反函数§4基本初等函数1.1实数一.集合与实数的性质二.绝对值与不等式1.我们用符号“”表示“任取”或“对于任意的”或“对于所有的”,符号“”称为全称量词.几个常用符号2.我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意的实数x,都存在实数y,使得x+y=1”可表示为“xR,yR,使x+y=1”符号“”称为存在量词.3.我们用符号“”表示“充分条件”比如,若用p,q分别表示两个命题或陈述句.或“推出”这一意思.则“pq”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立的充分条件.4.我们用符号“”表示“当且仅当”比如“pq”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立的充要条件是q成立.或“充要条件”这一意思.1.集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.一.集合与实数的性质集合的表示•列举法把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.•描述法若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为M{x|x具有性质P}.例如M{(x,y)|x,y为实数,x2y21}.几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.2.集合的运算设A、B是两个集合,则AB{x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并).AB{x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交).A\B{x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差).ACI\A{x|xA}为称A的余集或补集,其中I为全集.提示:如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.集合运算的法则设A、B、C为任意三个集合,则有(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.•(AB)CACBC的证明所以(AB)CACBC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xBx(AB)C直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合AB{(x,y)|xA且yB}称为集合A与集合B的直积.例如,RR{(x,y)|xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.２.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度:b-a注意:有时常用X,Y等表示不指明是开的或闭的区间.３.邻域:.0,且是两个实数与设a,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{),(axaxaOxaaa邻域的去心的点a.}0{),(0axxaO,}{邻域的称为点数集aaxx说明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x-y,则分别称x=y与xy(yx)4.实数集两个实数的大小关系说明:.自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中给定两个非负实数LLLLLLL•定义1•定义2LLLL,2,1,0101..210210，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位过剩近似的称为而有理数位不足近似的为实数称有理数为非负实数设说明:..101..210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL与分别规定为位不足近似与过剩近似的负实数说明:.,210210LLxxx，nxxxx，nxxnn即有增大时不增当过剩近似即有增大时不减当的不足近似实数•命题1..,:..位过剩近似的表示位不足近似的表示其中的充要条件是则为两个实数与设nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnnLL5.实数的性质1).实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.2).实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:ab,a=b,ab.3).实数集的大小关系具有传递性.即若ab,bc,则有ac实数的性质.，则存在正整数n,使得nba.即对任何4).实数具有阿基米德性,ab0,5).实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.6).实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.实数的性质例1证明.::,yrxr，yx满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,,babaRba则有若对任何正数证明设例2..,,..bababababa，从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法证明1.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量（常数）,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量（变数）.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.一、基本概念１.２函数的概念二、函数概念例圆内接正多边形的周长nnrlnsin2L,5,4,3n3l5l4l6l圆内接正n边形Orn因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfXx.}),({)(称为函数的值域函数值全体组成的数集YXxxfyyXf按照确定的规律f，总有唯一确定的数y和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,YX,是给定的数集，数集X叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Xx,(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应规律.xyXY约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:X211xy例如，)1,1(:X关于函数定义的几点说明:;1).(.)()1(YyXxYXfxfff即映射的一个单值对应到是函数的区别与函数值函数.)(]1,1[)(),,(,sin:.,是一个数值而函数值例也可能没有原象可能对应多个一个反之xfXfYXxyXxX，xYy].0[,,];210[],,0[,21:.,}.)(|{)(22，RtgT，TtgtSRxfxXxxfy值域从抽象的函数看值域自由落体公式例而定还要视实际问题的意义函数的定义域和值域然而的集合有意义的实数定义域是使.)3(