数学分析第2章(2.1)

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第二章极限与连续第一节数列极限和无穷大量第二节函数极限第三节连续函数第四节无穷小量与无穷大量的阶•一、数列极限的定义•二、数列极限的性质•三、数列极限的运算•四、单调有界数列•五、无穷大量的定义•六、无穷大量的运算第一节数列极限和无穷大量“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽（一）、概念的引入一、数列极限的定义R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;212122X为第二天截下的杖长总和;2121212nnXn天截下的杖长总和为第nnX2111（二）、数列的定义定义:按自然数,3,2,1编号依次排列的一列数,,,,21nxxx(1)称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的项,nx称为通项(一般项).数列(1)记为}{nx.例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,31nxn1n21031041051061071081091010101110nxO（三）、数列极限的定义1n21031041051061071081091010101110nxOnxn11nnxO●●nnxOnxn例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为axnnlim数列极限的通俗定义11limnnn,021limnn,1)1(lim1nnnn11limnnn,021limnn,1)1(lim1nnnn问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,]1[(时只要Nn.1成立有nx当n无限增大时,xn无限接近于a当n无限增大时,|xna|无限接近于0当n无限增大时,|xna|可以任意小,要多小就能有多小当n增大到一定程度以后,|xna|能小于事先给定的任意小的正数•分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xna|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a1.数列极限的精确定义设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数,总存在正整数N,使得当nN时,不等式|xna|总成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a,记为如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,axnnlim或xna(n)或说数列{xn}是发散的,习惯上也说nnxlim不存在:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使注:①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式|xn－a|＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xn－a|＜εn＞N④定义中的不等式|xn－a|＜ε（n＞N）是指下面一串不等式||1axN||2axN||3axN都成立，而对||1ax||axN则不要求它们一定成立2.数列极限的几何意义,,0N使得N项以后的所有项,,,321NNNxxx都落在a点的ε邻域内),(aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点xaaa22Nx1x2x1Nx3x这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。AnNAAnxn目的：AxANnNAxnnn,0lim时，有使得自然数要找到一个●●●●●●●●●●●●●●●●●●NAAA越来越小，N越来越大！nxn数列极限的定义未给出求极限的方法.例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：分析:例1例1证明1)1(lim1nnnn证明|xn1|nnnn1|1)1(|1,所以1)1(lim1nnnn证明因为0,]1[NN,当nN时,有证明因为0,]1[NN,当nN时,有证明因为0,]1[NN,当nN时,有axnnlim0,NN,当nN时,有|xna|.对于0,要使|xn1|,只要n1,即1n|xn1|nnnn1|1)1(|1对于0,要使|xn1|,只要n1,即1n利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考虑，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明1lim22nann证明1|1|22nanxn)(222nannanan21)1(22naan则若0故][,1max2aN则当n＞N时，有nannan22211n11lim22nann例3.证明343lim22nnn分析，要使（为简化，限定n只要nnnn1241234322212n3例3.证明分析，要使（为简化，限定n只要证.当nN时有由定义适当予先限定n＞3。是允许的！但最后取N时要保证n＞3。343lim22nnnnnnn1241234322212n33,12max,0N取nnnn12412343222343lim22nnn.例4.证明（K为正实数）证：由于所以对任意ε＞0，取N=,当n＞N时,便有01limknnkknn101k1101kn01limknn例5.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例6.1,0limqqnn其中证明证,0任给,0nnqx,lnlnqn],lnln[qN取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn例7.lim,0lim,0axaxxnnnnn求证且设证,0任给.limaxnn故,limaxnn,1axNnNn时恒有使得当axaxaxnnn从而有aaxna1例8)0.(1limaann证明证,0任给,1nx要,1na只要,1an或所以,,1]1[aN取,时则当Nn.1limnna即,1nx0,1,11则记naa)1(11)1(1nnanna由naan111得由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：aan2.适当放大aan，通常放大成nMaan的形式nM，求出需要的N1.化简3.解2.数列是否有极限，只与它从某一项以后的项有关，而与它前面的有限项无关。因此，在讨论数列的极限时，改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性。注:1.用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。3数列极限的等价定义:)0(,,,,0:1kkaaNnNnD:2D对0,c3:D对任正整数.1,,,maaNnNmn,,,nNnNaa1、有界性定义:对数列nx,若存在正数M,使得一切自然数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界,否则,称为无界.例如,;1nnxn数列.2nnx数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界二、数列极限的性质定理1收敛的数列必定有界.证,limaxnn设由定义,,1取,1,axNnNn时恒有使得当则.11axan即有},1,1,,,max{1aaxxMN记,,Mxnn皆有则对一切自然数.有界故nx注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证,lim,limbxaxnnnn又设由定义,使得.,,021NN;1axNnn时恒有当;2bxNnn时恒有当,,max21NNN取时有则当Nn)()(axbxbannaxbxnn.2.时才能成立上式仅当ba故收敛数列极限唯一.例9.)1(1是发散的证明数列nnx证,limaxnn设由定义,,21对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上nx定理3（保序性）设lim,lim,nnnnaabb