数学分析第2章(2.2)

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第二章极限与连续第一节数列极限和无穷大量第二节函数极限第三节连续函数第四节无穷小量与无穷大量的阶第二节函数极限二、x趋向有限值时函数的极限一、x趋向无穷大时函数的极限三、函数极限的性质与运算四、函数值趋于无穷大的情形.xxxsin时的变化趋势当观察函数一、自变量趋向无穷大时函数的极限xxysin问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”..xxxsin时的变化趋势当观察函数一、自变量趋向无穷大时函数的极限xxysin问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.xXx的过程表示.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.:.1定义定义X.Axf,Xx,X,)(00恒有时使当Axflimx)(定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数,使得对于适合不等式的一切,所对应的函数值都满足不等式,那末常数就叫函数当时的极限,记作XXxx)(xfAxf)(A)(xfx)()()(xAxfAxflimx当或:x.情形02.Axf,X|x|,X,)(00恒有时使当:x.情形01Axfx)(lim.A)x(f,Xx,X,恒有时使当00Axflimx)(2.另两种情形:Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且xxysin3.几何解释:XX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxAAxflimx)(例1.01limxx证明证xx101,,0,1X取时恒有则当Xx,01x.01limxx故例2证明21121limxxx证|12|12321121xxxx故不妨设|x|＞1，而当|x|＞1时||1||2|12|xxx|12|12321121xxx||3||123xx021121xx要使同时成立和只须3||1||xx}3,1max{X令时，便有则当Xx|||12|12321121xxx||3x21121limxxn.)(,)(lim:的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxfx二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxfx0x0x0x,0邻域的去心点x.xx程度接近体现0.xxxx的过程表示000:.1定义定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当定义2如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式的一切,对应的函数值都满足不等式,那末常数就叫函数当时的极限,记作00xxx)(xfAxf)(A)(xf0xx)()()(lim00xxAxfAxfxx当或2.几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数.,,就有无穷多个后找到一个显然xOy0x)(xfyA0给定AA0x0x目的：对任意的0,要找0，使得0|x-x0|时，有|f(x)-A|.即Af(x)A.哈哈,找到了!这样的也能用,看来有一个符合要求,就会有无穷多个符合要求!证例3.lim00xxxx证明,)(0xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx例4.4lim22xx证明证4)(2xAxf,0任给,5取,00时当xx4)(2xAxf有,成立4lim22xx,22xx,31x限制,2522xxx4)(2xAxf要使,25x只需例5.lim00xxxx证0)(xxAxf,0任给},,min{00xx取,00时当xx00xxxx,)(Axf要使,0xx就有,00xxx.00且不取负值只要xxx.lim,0:000xxxxx时当证明例6.424lim22xxx证明证424)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=2处没有定义.2x,)(Axf要使,4242xx就有.211lim21xxx3.单侧极限:例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作yox1xy112xy左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例7证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x定理如果当xx0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的.证明，xxfBA时的极限当都是设0,,)(0,0,0101Axfxx时有当则,)(0,0202Bxfxx时有当故有同时成立时则当取，xx)2(),1(0),,min(021.2)()())(())((BxfAxfBxfAxfBA..即其极限唯一的任意性得由BA(1)(2)三、函数极限的性质与运算1.唯一性2.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.若极限)(lim0xfxx存在，)(xf0x则函数在的某一空心邻域上有界。证明有使得则取设);(,0,1,)(lim00xUxAxfxxo.1)(1)(AxfAxf.);()(0内有界在即xUxfo3.局部保号性).0)((0)(,),(,0),0(0,)(lim000xfxfxUxAAAxfxx或时当则或且若定理证明设A＞0,对任何0,,A-,rAr取则存在＞0,使得对一切0;xUx有,fxAr＞这就证得结论.对于A＜0的情形可类似地证明.).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论定理(函数极限的局部保号性)如果f(x)A(xx0),而且A0(或A0),那么对任何正数rA(或r-A),在x0的某一去心邻域内,有f(x)r0(或f(x)-r0).证明);(,0,),1,0(,00xUxrArA使得则取设.)(rAxf有.0的情形类似可证对于r•推论如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0),而且f(x)A(xx0),那么A0(或A0).3.局部保号性定理(函数极限的保不等式性)证明).(lim)(lim),()();()(),(00'00xgxfxgxfxUxgxfxxxxxx则内有极限都存在且在时如果o,)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx设)1(),(0,0,0101xfAxx时有当则)2(.)(0,0202Bxgxx时有当于是有同时成立与不等式时则当令，xgxfxx)2(),1()()(,0},,,min{021',)()(BxgxfA.,2BABA的任意性知由从而4保不等式).()(),,(,0,)(lim,)(lim0000xgxfxUxBABxgAxfxxxx有则且设推论定理如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x),(2)limg(x)A,limh(x)A,那么limf(x)存在,且limf(x)A.证明),(0,0,0101xgAxx，时有当按假设.)(0,0202Axhxx时有当故有同时成立时上两不等式与则当令,)()()(0},,min{021xhxfxgxx,)()()(AxhxfxgA.)(lim)(0Axf，Axfxx即由此得5迫敛性).()()()(lim).(600nAxfxxnxxAxfHeinennnn均有且定理性质说明:利用性质6，可数列极限来判断函数极限不存在，其方法是：6.Heine定理0x的不同数列法1找一个数列:nx,0xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法2找两个趋于nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在.1sinyx例8.1sinlim0不存在证明xx证,1nxn取,0limnnx;0nx且,2141nxn取,0limnnx;0nx且1limsinlimsin0nnnnx而，141limsinlimsin12nnnnx，二者不相等,.1sinlim0不存在故xxAxfxx)(lim0Bxgxx)(lim0定理设,则BAxgxfxx)()(lim0BAxgxfxx)()(lim0BAxgxfBxx)()(lim,001）2）3）7、函数极限的运算法则定理之3）的证明只要证Bxgxx1)(1lim0，令020B，由Bxgxx)(lim0，01使得当100xx时，有2)(BBxg，即22)()(BBBBxgBxg0,仍然由Bxgxx)(lim0，.02，使得当200xx时，有2)(2BBxg.取),min(21，则当00xx时，有22)(2)()(1)(1222BBBxgBBxgBxgBxgBxgxx1)(1lim0即推论1).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf则为常数而存在如果常数因子可以提到极限记号外面.推论2.)]([lim)](lim[,,)(limnnxf