数学分析第3章

数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云[e-mail]第一节关于实数的基本定理第二节闭区间上连续函数性质的证明第三章实数的完备性第一节关于实数的基本定理一.子列二.上确界与下确界三.区间套定理四.致密性定理五.柯西收敛原理一、子列的子数列（或子列）．的一个数列称为原数列到中的先后次序，这样得这些项在原数列保持中任意抽取无限多项并定义：在数列nnnxxx,,,,,21nixxxx,,,,21knnnxxx.knxxxkxxkknnnnkkk项，显然，中却是第在原数列而项，是第中，一般项在子数列注意：例如，1.子数列的定义2.收敛数列与子数列的关系证的任一子数列．是数列设数列nnxxk,limaxnn.,,0,0axNnNn恒有时使,NK取,时则当Kk.NnnnNKk.axkn.limaxknk证毕．推论：若对任何,),(,00xxnxxxnnn都有)(nxf收敛，那么)(xf在0x的极限存在。定理1收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．例1对于数列xn)(2kaxk若)(12kaxk)(naxn则证0知由axkk2lim时，有使当11,KkK||2axk知再由axkk12lim时，有使当22,KkK||12axk}12,2max{21KKN取时则当Nn11222KmKmmn则若此时有||||2axaxmn22121212KmKmmn则若此时有||||12axaxmn总之：0N时使当Nn恒有||axnaxnnlim即)(),()(}|{}|{}{naxqpaNBABqxApxxnqpn则趋于同一极限值其中与：若子数列对数列定理2(数列收敛充要条件){nx}收敛{nx定理3(数列收敛充要条件){nx}收敛子列{21nx}和{2nx收敛于同一极限.}的任何子列收敛于同一极限.}若数列有一个子列发散,从而发散.其偶数项组成的子列收敛于1,等，则数列一定发散。定理2的逆否命题是判断数列发散的有力工具:nxnx(1),nn2)1(12)1(kn)1(sin,2n212sink1(1),k2sinn它的奇数项组成的子列发散.注或有两个子列收敛而极限不相举例数列而奇数项组成的子列收敛于-1,再如数列即为由于这个子列发散，故数列二、上确界和下确界•1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)•数集S有上界•数集S无上界•数集S有下界•数集S无下界•数集S有界•数集S无界,MRxS有xM.00,MRxSx有M.,LRxS有xL.00,LRxSx有L.,MRxSx有M.00,MRxSx有M.,ba、baba,(),(为有限数）、邻域等都是有界数集；集合),(,sinxxyyE也是有界数集.),0(,)0,(,),(等都是无界数集,集合)1,0(,1xxyyE也是无界数集.例2证明：集合)1,0(,1xxyyE是无界数集.证：11(0,1),1MxM对任意的，1,1yEyMMx由无界集定义，E为无界集.2、上确界和下确界的定义定义1：设给定一数集E，若存在数，适合以下条件：（i）：,Ex有;x（ii）：,0至少存在,0Ex使得.0x则叫做E的上确界，记为,supE或}.{supxEx定义2：设给定一数集E，若存在数，适合以下条件：（i）：,Ex有;x（ii）：,0至少存在,0Ex使得.0x则叫做E的下确界，记为,infE或}.{infxEx定义2设S为R中的一个数集.若数满足：确界的其它定义（i）对一切xS，有x，即是S的上界；（ii）对任何，存在0xS，使得0x，即是S的最小上界，则称数为数集S的上确界，记作supS.定义３设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数满足：（1）对一切,xS有x（即是Ｓ的下界）；（2）对任何，存在0xS，使得0x（即是Ｓ的下界中最大的一个），则称数为数集Ｓ的下确界，记作infS.证：设Asup，Asup且，则不妨设AsupAx有xAsup对，Ax0使0x，矛盾.例2⑴,)1(1nSn则._______inf______,supSS.),0(,sin2xxyyEsup________,inf_________.EE则定理4设数集有上（下）确界，则这上（下）确界唯一。3确界原理定理5(确界原理).设E为非空数集，（1）若E有上界，则E必有上确界；（2）若E有下界，则E必有下确界。例3设数集S有上确界.证明supmaxSSS证)设supSS，则对一切xS有x，而S，故是数集S中最大的数，即maxS.)设maxS，则S，（i）对一切xS有x，即是数集S的上界；（ii）对任何，只须取0xS，则0x.从而满足supS的定义.例4设A,B为非空数集,满足:.,yxByAx有证明数集A有上确界,数集B有下确界,且.infsupBA证:故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,Byy由假设,数集B中任一数都是数集A的上界,yA中任一数都是B的下界,xy.supA是数集A的最小上界,故有supA而此式又表明数是数集B的一个下界,supA故由下确界的定义证得.infsupBA例5AB为非空数集,.BAS试证明:.inf,infmininfBAS证,Sx有Ax或,Bx由Ainf和Binf分别是AB的下界,有Axinf或.inf,infmin.infBAxBx即inf,infminBA是数集S的下界,.inf,infmininfBAS.和3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.•4.确界与最值的关系:设E为数集.•⑴E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.•⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.•⑶若存在,必有对下确界有类似的结论.Emax.supmaxEE定理6单调有界数列必有极限。推论若ny为单调增加的无界数列，则)(nyn；若ny为单调减少的无界数列，则).(nyn定理6(单调有界定理)单调有界数列必有极限..为有上界的递增数列不妨设na.sup,,nnaaa记有上界数列由确界原理.的极限就是下证naa.,,,0NnNaaaa，使得按上确界定义事实上证明.,nNnaaaNna时有当的递增性又由.,,aaaaaannn都有故的一个上界是而.aaaNnn时有所以当.limaann即.数列必有极限同理可证有下界的递减M定理6(单调有界定理)单调有界数列必有极限.•定理6的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例,数列的点只可能向右一个方向移动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点A,而对有界数列只可能后者情况发生.例2设).2(,131211nan证明数列{}收敛.na例3例4222,,22,221naaa(n重根号),···证明数列na单调有界,并求极限..21.0,011nnnxaxxxa求.limnnx(计算a的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有nnnxaxx211}{.nnnxaxax有下界;注意到对,n有,axn有nnnnxaaxaxx.1)(121121221↘···,.limaxnn例51）证明序列nnxnln131211的极限存在；2）求极限]1)1(31211[lim1nnn解1）因1x时有xxxx)1ln(1)0(x所以kkk1)11ln(11），，21(k即有nknknnnnknkx110ln)1ln(ln)11ln(ln1011)11ln(11ln)1ln(1nnnnnxxnn故序列}{nx下降。因此序列极限存在，记极限值为c。于是nkncnk1ln1这表明序列}{nx有下界。又或nknnck1ln1)0lim(nn2）因nnnnnknknkkncnckkk221212112ln]ln[)2ln(2121)1(所以2ln)1(lim211nkknk又2ln)1(lim1211nkknk即得2ln)1(lim11nkknk例6.)(333的极限存在式重根证明数列nxn证,1nnxx显然;是单调递增的nx,331x又,3kx假定kkxx3133,3;是有界的nx.lim存在nnx,31nnxx,321nnxx),3(limlim21nnnnxx,32AA2131,2131AA解得(舍去).2131limnnx三、区间套定理1、区间套的定义定义1设闭区间列{[]}具有如下性质：：bann,(i)],,[],[11nnnnbaba.,2,1n0)(limnnnab(ii)[1a]1b]},{[bann则称为闭区间套，或简称区间套。[2a]2b[3a]3b[]1221bbbaaannnnaaaa121nnbbbb121定理7.(区间套定理){[,]},nnab若是一个区间套,则存在唯一的实数使[,],1,2,,nnabn或者.],[}{1nnnba证由定义1的条件1可知,数列{an}递增,有上界b1.所以由单调有界定理,可知{an}的极限存在.x从而由定义1的条件2可得.lim)(limlimnnnnnnnaabb因为{an}递增,{bn}递减,所以,nnba,limnna设这样就证明了的存在性.现在证明是唯一的。nnba，满足若,||nnab则,0)(lim||limnnnnab.推论,2,1],,[nbann若是区间套所确定的点,]},{[nnba有，则,,00NnN).,(],[Ubann()[na]nb[]证由区间套定理的证明可得:limlim.nnnnab由极限的保号性,对于任意正数,存在N,1,.即惟一性得证10.nnba那么[,](;).nnabU则任给0,存在N,1,2,.n当nN时,推论设{[an,bn]}是一个区间套,[,],nnab现