3.4-3.5 二维随机变量的函数的分布

§3.4相互独立的随机变量一、两个随机变量相互独立的概念二、n个随机变量相互独立的概念它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积则相互独立和注：,YX.,21212121也相互独立与事件，对任意yYyxXxyyxx一、两个随机变量相互独立的概念两事件A,B独立指P(AB)=P(A)P(B)定义１设F(x,y),FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)联合分布函数及边缘分布函数．若对所有x,y有}P{Y}P{X}Y,P{Xyxyx)(F)(F),(FYXyxyx即则称随机变量X与Y是相互独立的.},{}{},{jijiyYPxXPyYxXP相互独立和YX说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的分布律为.,2,1,,},{jipjYiXPij.jiijppp即则有边缘概率密度分别为的概率密度为设连续型随机变量,)(,)(,),(),()2(yfxfyxfYXYX相互独立和YX).()(),(yfxfyxfYX处的一切连续点在)y,x()(,)(,),(yfxfyxfYX教材上称为“几乎处处成立”，含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.例1设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为XY0100.04a1b0.64若X和Y相互独立,则a=_______b=_______0.160.16其它，，97,0,21)(xxfX其它，，97,0,21)(yyfYGyxGyxyfxfyxfYX),(,0),(,4/1)()(),(}121P{YX图例2学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在7~9时,设两人到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过5分钟的概率．解设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为的面积1GG41),(1dxdyyxf576477979GxOyG114447]1212212221[221）（的面积G返回02222212121212)())((2)()1(21221121yyxxe证:对任何x,y有21,yx取),,,,(~),(222121NYXX与Y相互独立例3212212121121故0将0代入),(yxf即得)()(),(yfxfyxfYX222221212)(22)(12121yxee所以X与Y相互独立若对任意实数，均有则称X1,X2,…,Xn相互独立.12(,,,)nFxxx1212()()()nXXXnFxFxFx设(X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(X1,X2,…,Xn).12,,,nxxx定理设(X1,X2,…,Xm)与(Y1,Y2,…,Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,…,m)与Yj(j=1,2,…,n)相互独立.又若h,g为连续函数,则h(X1,X2,…,Xm)与g(Y1,Y2,…,Yn)相互独立.若对任意实数x1,x2,…,xm;y1,y2,…,yn均有则称X1,X2,…,Xn与Y1,Y2,…,Yn相互独立.F(x1,…,xm,y1,…,yn)=F1(x1,…,xm)F2(y1,…,yn)二、n个随机变量相互独立的概念§3.5二维随机变量的函数的分布Z=X+Y的分布三、最大值、最小值的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布例1设(X,Y)的分布律为XY012-120.20.30.10.10.10.2解(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)-101234(X,Y)Z=X+YZ=XY0.20.30.10.10.10.20-1-2024Z=XY0.10.30.30.10.2-2-1024一、离散型随机变量的函数的分布求(1)Z=X+Y(2)Z=XY(3)Z=max(X,Y)(4)Z=min(X,Y)的分布律.Z=max(X,Y)012222X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+YZ=max(X,Y)的分布律设X与Y独立，分别服从参数为，的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布。1212【注】分布具有可加性二、连续型随机变量的函数的分布设(X,Y)的概率密度为f(x,y),求Z=g(X,Y)的分布.一般方法：分布函数法}{)(zZPzFZ}),({zYXgP}),{(ZDYXP)()()(zHzFzfZZzDdxdyyxf),(}),(),(|),{(zyxgyxyxDZzduuH)(设(X,Y)的概率密度为f(x,y),Z=X+Y的分布函数为}{)(zZPzFZzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(udxuxfdxz),(duxdxuxfz]),([1.Z=X+Y的分布x+y=zyxoyuxdxxzxfzfZ),()(zDZ=X+Y的概率密度:dxxzxfzfZ),()(dyyyzfzfZ),()(dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(XYffˆ卷积公式当X,Y相互独立时,YXffˆ例1设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y相互独立，求Z=X+Y的概率密度。222211(),(),(,)22yxXYfxefyexy22()221122zxxeedx)2(2zxtZ=X+Y~N(0,2).()()()ZXYfzfxfzxdx22()2412zxzeedx解241()22zezdteezftzZ2224221)((2)若2~(,),(1,2,)iiiXNin2111~(,)nnniiiiiiXN一般结论：(1)若且相互独立，则X+Y仍服从正态分布，且221122~(,),~(,)XNYN),(~22212,1NYX且相互独立，则有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.例2X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。三、最大值、最小值的分布设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x),FY(y).求M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布函数.max()()()XYFzFzFz1{,}PXzYzmin()1[1()][1()]XYFzFzFz对任意实数z,max()Fz{max{,}}PXYz{,}PXzYz{}{}PXzPYzmin()Fz{min{,}}PXYz1{}{}PXzPYz}Y)P{min(X,1z设X1,X2,…,Xn相互独立，其分布函数分别为FXi(xi)，则M=max{X1,X2,…,Xn}与N=min{X1,X2,…,Xn}的分布函数分别为max1()()inXiFzFzmin1()1[1()]inXiFzFzmaxmin()[()],()1[1()]nnFzFzFzFz推广：特别，相互独立且具有相同的分布函数F(x)时，有例4设系统L由两个相互独立的子系统组成,其寿命分别为X,Y．其概率密度分别为其中0,0,.试求联接方式为：(1)串联，(2)并联时系统L的寿命Z的概率密度．.0,0,0,1)(FXxxexx.0,0,0,1)(FYyyeyy.0,0,0,1)()(zzezFzZ.0,0,0,)()()()(zzezFzfzZZ解(1)串联系统：此时有Z=min{X,Y})](F1[)](F1[1)(FYXminzzzL2XYL1.0,0,0,)(.0,0,0,)(yyeyfxxexfyYxX0(1)(1),()()()00,zzZXYzeeFzFzFzz00,0,)()()(zzeeezfzzzZ(2)并联系统：L2XYL1此时有Z=max{X,Y}若X是离散型随机变量，Y是连续型随机变量，X和Y相互独立，如何求Z=X+Y的概率密度？