第二章 函数、导数及其应用第七节 函数的图象

第二章函数、导数及其应用第七节函数的图象微知识·小题练微考点·大课堂拓视野·提素养★★★2018考纲考题考情★★★考纲要求真题举例命题角度1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题2017·山东高考·T10(5分)(函数图象的应用)2016·全国卷Ⅰ·T7(5分)(函数图象的识别)2016·全国卷Ⅱ·T12(5分)(函数图象的应用)2016·山东高考·T15(5分)(函数图象的应用)1.作函数的图象2．函数图象的识别3．函数图象的对称性4．函数图象的应用微知识·小题练自|主|全|排|查1．利用描点法作函数图象基本步骤是列表、描点、连线。首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)。其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y＝f(x)――→a0，右移a个单位a0，左移|a|个单位y＝________________；y＝f(x)――→b0，上移b个单位b0，下移|b|个单位y＝________________。(2)伸缩变换：y＝f(x)―――――――――――――――――――→0ω1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的1ω倍纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1ωy＝___________；y＝f(x)――――――――――――→A1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍0A1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的Ay＝___________。f(x－a)f(x)＋bf(ωx)Af(x)(3)对称变换：y＝f(x)――→关于x轴对称y＝_______；y＝f(x)――→关于y轴对称y＝_______；y＝f(x)――→关于原点对称y＝_________。(4)翻折变换：y＝f(x)――――――――――――→去掉y轴左边图象，保留y轴及其右边图象将y轴右边的图象翻折到左边去y＝______；y＝f(x)―――――――――――――→保留x轴及其上方图象将x轴下方的图象翻折到上方去y＝______。－f(x)f(－x)－f(－x)f(|x|)|f(x)|重点微提醒1．左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作。如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换。2．上下平移仅仅是相对y而言的，即发生变化的只是y本身，利用“上减下加”进行操作。但平时我们是对y＝f(x)中的f(x)进行操作，满足“上加下减”。3．记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称。(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称。(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称。小|题|快|速|练一、回归教材1．(必修1P24A组T7改编)下列图象是函数y＝x2，x0，x－1，x≥0的图象的是()解析其图象是由y＝x2图象中x0的部分和y＝x－1图象中x≥0的两部分组成。故选C。答案C2．(必修1P23练习T2改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地。已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度。现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是()A．甲是图①，乙是图②B．甲是图①，乙是图④C．甲是图③，乙是图②D．甲是图③，乙是图④解析由已知甲先快后慢，且前半程用时要比后半程少，也比乙后半程用时少，故符合①，而由乙的运动知其符合④。故选B。答案B二、小题查验1．为了得到函数y＝2x－3－1的图象，只需把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度解析y＝2x――→向右平移3个单位长度y＝2x－3――→向下平移1个单位长度y＝2x－3－1。故选A。答案A2．函数y＝x2，x0，2x－1，x≥0的大致图象为()解析当x0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B。答案B3．函数y＝xln|x||x|的图象可能是()解析易知函数y＝xln|x||x|为奇函数，故排除A、C，当x0时，y＝lnx，只有B项符合，故选B。答案B4．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log2f(x)的定义域是________。解析当f(x)0时，函数g(x)＝log2f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x∈(2,8]。答案(2,8]5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________。解析由题意，知a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝2x，x≥0，0，x0，图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解，则a0。答案(0，＋∞)微考点·大课堂考点一作函数的图象【典例1】作出下列函数的图象。(1)y＝x2－2|x|－1。解(1)先化成分段函数，再作图，y＝x2－2x－1，x≥0，x2＋2x－1，x0，图象如图所示。(2)y＝x＋2x－1。解(2)因为y＝x＋2x－1＝1＋3x－1，先作出y＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝x＋2x－1的图象，如图所示。(3)y＝|log2(x＋1)|。解(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示。【解题导引】(1)先根据绝对值定义，去掉绝对值，将原函数化成分段函数的形式，然后作出图象；(2)先化简解析式，分离常数，再利用图象变换画出图象；(3)将y＝log2x的图象向左平移1个单位长度→y＝log2(x＋1)的图象→将y＝log2(x＋1)的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的图象。【母题变式】若本例(3)变为：y＝log2|x＋1|，试作出其图象。解作y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度，如图，即得到y＝log2|x＋1|的图象。函数图象的画法1．直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出。2．转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象。3．图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出。提醒：(1)画函数的图象一定要注意定义域。(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。【拓展提升】画出下列函数的图象。(1)y＝|lgx|。解(1)因为y＝|lgx|＝lgx，x≥1，－lgx，0x1。所以函数y＝|lgx|的图象，如图①。(2)y＝sin|x|。解(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②。考点二函数图象的识别【典例2】(2017·全国卷Ⅲ)函数y＝1＋x＋sinxx2的部分图象大致为()A．B．C．D．解析易知函数g(x)＝x＋sinxx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y＝1＋x＋sinxx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，可知y＝1＋x＋sinxx2图象关于(0,1)对称，当x→0＋，f(x)0，排除A，C，当x＝π时，y＝1＋π，排除B，结合选项知选D。答案D函数图象的识辨可从以下方面入手1．从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置。2．从函数的单调性，判断图象的变化趋势。3．从函数的奇偶性，判断图象的对称性。4．从函数的周期性，判断图象的循环往复。5．从函数的特征点，排除不合要求的图象。【变式训练】(2018·武汉调研)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可以是()A．f(x)＝2－x22xB．f(x)＝cosxx2C．f(x)＝－cos2xxD．f(x)＝cosxx解析A中，当x→＋∞时，f(x)→－∞，与题图不符，故不成立；B为偶函数，与题图不符，故不成立；C中，当x0，且x→0时，f(x)0，与题图不符，故不成立。故选D。答案D考点三函数图象的对称性微点小专题考向1：中心对称【典例3】已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为________。解析设P(x，y)为函数y＝g(x)上任意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)。答案g(x)＝－ln(x－1)考向2：轴对称【典例4】设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于()A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称D．直线x＝1对称解析设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称，即关于x＝1对称。故选D。答案D解析：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称。故选D。下列结论需记住1．y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称。2．y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称。3．y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称。4．y＝f(x)与y＝f(2m－x)的图象关于直线x＝m对称。对点集训1．(考向1)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象成中心对称的点为()A．(1,0)B．(－1,0)C．12，0D．－12，0解析f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移12个单位得到的，故关于点12，0成中心对称。故选C。答案C2．(考向2)将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝()A．ex＋1B．ex－1C．e－x＋1D．e－x－1解析与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，所以y＝f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1。故选D。答案D考点四函数图象的应用【典例5】(2018·安徽省联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且周期为2，当x∈(0,1]时，f(x)＝1－x，则函数f(x)在[0,2017]上的零点个数是()A．1008B．1009C．2017D．2018解析由于f(x)是定义在R上的奇函数，且周期为2，则有f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝0，又x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，则f(x)＝－f(－x)＝－(1＋x)＝－1－x，作出函数f(x)在[－1,1]上的图象，并结合周期性加以延展，如图所示，可知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝0。故f(x)在[0，2017]上的零点个数是2017＋1＝2018，故选D。答案D1．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系。2．利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解