4.1希尔伯特变换

第四章窄带随机过程000()S窄带随机过程:频带宽度中心频率一个随机信号的功率谱集中在某一中心频率附近，一个很小的频带内4.1希尔伯特变换希尔伯特变换是通信和信号检测理论研究中的重要工具；用希尔伯特变换可以把实信号表示成复信号；用希尔伯特变换可以研究实信号的瞬时包络、瞬时相位和瞬时频率。4.1.1希尔伯特变换及解析信号的构成1.实信号的频谱复共轭对称性有如下性质，即的频谱实信号)()(Xtx)()(*XX)()(XX幅度谱满足偶对称性：)(arg)(argXX相位谱满足奇对称性：xtˆxtHxt定义：设有实信号它的希尔伯特变换记做或11ˆxxtHxtdxttt——正变换1ˆ11ˆˆxxtHxtdxttt——反变换2.希尔伯特变换和解析信号3.实信号的复数表示0()()cos[()]xtAttt).(Z解析信号的谱记为如果由x(t)作为实部，它的希尔伯特变换作为虚部，构成解析信号ˆ()()()ztxtjxt典型的窄带信号可表示为：2()0sgn00XZXX4.1.2希尔伯特变化的性质(1)希尔伯特变换的频率特性,01()()sgn,0FjhtHjtj希尔伯特变换实际上是一个90°的理想移相器()H900()H01090()H的相位特性+j-j图1图2图3()H的幅频特性1()htt()Xt1()()YtXtt()Yt()sgnHj希尔伯特变换是线性变换Hilbert变换器是一个90度移相器。信号的希尔伯特变换相当于原信号的幅度不变，各频率分量平移90度。ˆ1ˆxHxtdxtt(2)高阶希尔伯特变换和反变换两次移相90°，相当于180°1）两次希尔伯特变换2）希尔伯特反变换1ˆ11ˆˆxxtHxtdxttt(1)由于傅氏变换和希尔伯特变换都是线性变换，可以互换顺序:F(H(x(t)))=H(F(x(t))).(2)对许多信号进行希尔伯特变换时，不是直接应用希尔伯特表达式进行计算，而是利用卷积定理，将信号变换到频域，在频域进行希尔伯特变换，再变换到时域。()(),()xtXxt的频谱为它的希尔伯特变换的傅里叶变换为1()(())(())sgn()()XwFxtFxtjXt04.1.1cos()t例试求的希尔伯特变换。(3)ytvtxtˆˆˆytvtxtvtxt若:则:（线性系统可以交换）（4）希尔伯特变换只改变相位，不改变能量或功率22ˆxtdxtdt能量:2221111ˆlim()lim()lim()2222TTTTTTTTTxtdtxtdtztdtTTT功率:(5)平稳随机过程X(t)希尔伯特变换的统计自相关函数和时间自相关函数分别等于X(t)的自相关函数和时间自相关函数)()()()(TTXXXXRRRR平稳随机过程经过希尔伯特变换后，平均功率不变。0)()(令XXRR04.1.2X(t)-2G=0X(t)XA例已知是一个均值为零的平稳高斯过程，其单边功率谱密度为窄带形式：，（），其他求其希尔伯特变换的一维概率密度。(6)平稳随机过程X(t)与其希尔伯特变换的统计互相关函数和时间互相关函数分别等于X(t)统计自相关函数的希尔伯特变换和时间自相关函数的希尔伯特变换)()()()(TTXXXXXXRRRR(7)低频带限，带宽，当时at0200cossinHattatt00sincosHattattcosxttsinyttˆsinxttˆcosytt，特殊情况:04.1.1cos()t例试求的希尔伯特变换。