误差分析与数据处理

误差分析与数据处理§1误差的概念与分类§2随机误差的处理§3系统误差的处理§4粗大误差的处理§1误差的概念与分类基本概念：1、测量：用实验的方法，把被测量与所选定的测量单位进行比较，求其比值以获得被测数值的过程。包括三要素：测量单位、测量工具、测量方法。2、真值：指在一定的时间及空间（位置或状态）条件下，某被测量所体现的真实数值。常用获得真值的方法：理论真值、约定真值、最佳估计值、传递值。3、测量误差：测量结果与被测量的真值之间的差异。测量误差表达方式有绝对误差、相对误差和引用误差三种。§1误差的概念与分类理论真值（理论值、定义值）根据一定的理论，在严格的条件下按定义确定的真值约定真值（相对真值、代替真值、指定值）国际计量大会认定，得到大家公认的各种基准、标准或相当于标准的指示值最佳估计值常数委员会给出的物理常量与常数，如真空光速等传递值（参考值、实际值）由计量网传递下来的标准仪器、标准量器和标准物质给出的值一、测量误差的概念及表达式0xxxx――检测仪表指示或显示被测参量的数值即仪表读数或示值（测量值）x0――在一定时间、空间条件下客观存在的被测量的真实数值（真值）一般情况下，理论真值是未知的，在工程上，通常用高一级标准仪器的测量值来代替真值。1、绝对误差――测量值与真值之差§1误差的概念与分类0100%Axx2、相对误差（评定测量的精确度）(1)实际相对误差100%xxx(2)示值相对误差为了减小测量中的示值误差，当选择仪器、仪表量程时，应使被测量的数值接近满度值，一般使这类仪器、仪表工作在不小于满度值2/3以上的区域。§1误差的概念与分类100%xqLmaxmaxxqQLmaxx100%maxmaxxqL仪表量程内出现的最大绝对误差与该仪器仪表量程L之比值，即仪表在出厂检验时，其示值的最大引用误差qmax不能超过其允许误差Q（以百分数表示）即maxq(2)最大引用误差3、引用误差(1)引用误差――示值绝对误差Δx与仪表量程L之比值§1误差的概念与分类100100maxGQq%maxxGL(3)精度等级工业检测系统常以允许误差Q作为判断精度等级的尺度。规定：取允许误差百分数的分子作为精度等级的标志，也即用最大引用误差中去掉百分号(%)后的数字来表示精度等级，其符号是G，精度等级为G的仪表在规定的条件下使用时，它的绝对误差的最大值的范围是§1误差的概念与分类§1误差的概念与分类§1误差的概念与分类最大引用误差§1误差的概念与分类0.1100%2.0%5maxq例1：检定一个满度值为5A的1.5级电流表，若在2.0A刻度处的绝对误差最大，△xmax=+0.1A，问此电流表精度是否合格?即该表的基本误差超出1.5级表的允许值。所以该表的精度不合格。但该表最大引用误差小于2.5级表的允许值，若其它性能合格可降作2.5级表使用。2.0％＞1.5％解：此电流表的最大引用误差§1误差的概念与分类3000.5%100%1.88%801001.0%100%1.25%80例2：测量一个约80V的电压，现有两块电压表：一块量程300V、0.5级，另一块量程100V、1.0级。问选用哪一块为好?如使用100V、1.0级表，其示值相对误差为可见，由于仪表量程的原因，选用1.0级表测量的精度可能比选用0.5级表为高。故选用100V、1.0级表为好。解：如使用300V、0.5级表，其示值相对误差为§1误差的概念与分类二、测量误差的分类iix根据测量误差的性质及产生的原因，可分为三类：1、随机误差随机误差是测量结果与在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果与平均值A之差。即iixA11limniniAxn其中：随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性，经常用来表征测量精密度的高低。随机误差越小，精密度越高。§1误差的概念与分类按误差出现的规律，误差可分为？2、系统误差在相同测量条件下，对同一被测量进行无限多次重复测量所得结果的平均值A与被测量的真值A0之差。即0AA系统误差表明了测量结果偏离真值或实际值的程度。系统误差越小，测量就越准确。所以，系统误差经常用来表征测量准确度的高低。§1误差的概念与分类3、粗大误差在相同的条件下，多次重复测量同一量时，明显地歪曲了测量结果的误差，称粗大误差，简称粗差。粗差是由于疏忽大意，操作不当，或测量条件的超常变化而引起的。含有粗大误差的测量值称为坏值，所有的坏值都应去除，但不是主观或随便去除，必须科学地舍弃。正确的实验结果不应该包含有粗大误差。§1误差的概念与分类00()()iiiiAAxAxAxi由上式可见，各次测量值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。精确度又称为精度，它反映系统误差和随机误差综合影响的程度；准确度则是反映系统误差影响的程度，精密度则是反映随机误差影响的程度。因此，精度高说明准确度和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。4、准确度、精密度和精确度测量中发现了粗大误差，数据处理时应将其剔除，这样要估计的误差就只有系统误差和随机误差两类。§1误差的概念与分类一、随机误差的概率分布x()fx1、随机误差的分布规律(1)正态分布正态分布的测量值的概率密度为2011()exp2()()2xxfxxx211()exp2()()2f正态分布的随机误差的概率密度为()f§2随机误差的处理图2-1测量数据和随机误差的正态分布曲线§2随机误差的处理10limnini0正态分布的随机误差的统计特点：1)对称性――绝对值相同的正、负误差出现的次数相同2)抵偿性：3)单峰性：在处，概率最大4)有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限随机误差在(-∞，+∞)的区间内取值的概率为1。标准偏差s越小，正态分布曲线越陡，则小误差出现的概率也越大，大误差出现的概率就越小，这意味着测量值越集中。因此，s的大小说明了测量值的离散性，即测量值相对于真值的分散程度。§2随机误差的处理图2-2均匀分布曲线(2)均匀分布特点是误差均匀地分布在某一区域，在此区域内误差出现的概率密度处处相同。而在该区域以外误差出现的概率为零。1/2()()0(,)aaafaa§2随机误差的处理二、被测量真值和测量方差的估计值0x()Mx2()xn0ˆxˆ()x理论上计算被测量的真值（即数学期望）与方差需要，即有无限多个测量数据。但是在实际情况下，只能进行有限次测量，得到有限多个测量数据。利用这有限多个测量数据我们可以求得被测量的真值（即数学期望）的估计值和方差的估计值。这里“^”是表示估计值的符号。0x()Mx§2随机误差的处理x0x0ˆx1、被测量真值的最佳估计值通常把测量数据的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，即011ˆniixxxn把测量值与算术平均值之差称为剩余误差，简称残差iixx2221111ˆ()()11nniiiixxxnn§2随机误差的处理2、方差的估计值方差的估计值：标准偏差的估计值：221111ˆ()()11nniiiixxxnn3、算术平均值的标准偏差及其估计值算术平均值的标准偏差为()()xxn算术平均值的方差估计值22ˆ()ˆ()xxn算术平均值的标准偏差估计值ˆ()ˆ()xxn在实际测量中，一般取n=10～20次左右即可。§2随机误差的处理三、测量结果的置信度与表示方法1、置信区间与置信概率置信度：测量结果值得信赖的程度。随机变量的“置信度”，通常用随机变量落于某一区间（称“置信区间”）的概率（称“置信概率”）来表示。置信区间：测量数据x的取值范围即置信区间[M(x)-a,M(x)+a]随机误差d的取值范围即置信区间为[-a,+a]置信概率：随机变量落于“置信区间”的概率。置信概率可用概率密度曲线f(d)与置信区间横坐标包围的面积表示。测量数据x落入置信区间[M(x)-a,M(x)+a]的概率等于随机误差d落入置信区间[-a,+a]的概率。§2随机误差的处理超差概率：随机变量落在置信区间以外的概率，又称为置信水平或显著性水平。置信系数：置信区间极限与标准偏差的比值。1cPaPaC§2随机误差的处理()cPPaPxMxa随机误差d绝对值小于给定的任一小量a的概率为：2、置信度的计算正态分布之测量数据的置信度有限次测量情况下的置信度――通常采用t分布来计算置信概率。2202exp22CcPd()()ˆ()ˆ()xMxxMxtxxnn随机变量t的概率密度f(t)服从分布。t分布的一个重要特点是其分布与无关。当测量次数n较小时，t分布与正态分布的差别较大，但当时，分布趋于正态分布。§2随机误差的处理0()2()tttKKtKPtKftdtftdtcP置信概率：t落在区间的概率()ttKK，ˆ()()cttPPtKPxMxKx§2随机误差的处理式中Kt为置信系数。置信系数Kt的数值可根据要求的置信概率Pc及测量次数n查表而定，这样即可确定被测量真值M(x)以置信概率Pc处在区间内。ˆ()txKxˆ()txKx，例题：P30例2-1、P34例2-2oxx0ˆ()txxKx3、测量结果的数字表示方法如果已知测量仪器的标准偏差，作一次测量，测得值为x，则通常将被测量x０的大小表示为x当用n次等精度测量的算术平均值作为测量结果时，其表达式为§2随机误差的处理一、系统误差的分类§3系统误差的处理1、恒定系差在整个测量过程中，误差的大小和符号固定不变。2、变化系差是一种按照一定规律变化的系统误差。根据变化的特点又可分为：累积性系差：随着时间的增长，误差逐渐加大或减小的系差。随时间做线性或非线性变化。周期性系差：误差大小和符号均按一定周期变化的系差复杂变化系差：误差的变化规律很复杂二、判断系统误差的方法实验对比法：改变测量条件及测量仪器或测量方法――只适用于发现恒定系差剩余误差观察法：根据测量列的各个剩余误差大小和符号的变化规律，直接由误差数据或误差曲线图形来判断有无系统误差――主要适用于发现变值系差马利科夫判据――用于发现累积性系差阿卑－赫梅特判据――用以发现周期性系差§3系统误差的处理三、系统误差的消除方法1、消除产生误差的根源最合适的测量方法和工作原理最佳的结构设计与合理的加工、装配、调校工艺正确的安装、使用……2、对测量结果进行修正在测量之前，用上一级标准（或基准）对仪器仪表进行检定，取得受检仪器的修正值。在用受检仪器测量时，将修正值C加入测量值x中，即可消除系统误差，求出实际值0xxc§3系统误差的处理3、采用特殊测量法恒定系差消除法(1)零值法零值法（又称平衡法）是把被测量与作为计量单位的标准已知量进行比较，使其效应相互抵消，当两者的差值为0时，被测量就等于已知的标准量。——天平称物体的质量(2)替代法替代法（又称置换法）是先将被测量x接入测量装置使之处于一定状态，然后以已知量A代替x，并通过改变A的值使测量装置恢复到x接入时的状态，于是x=A。§3系统误差的处理(3)交换法（对照法）在测量过程中，将测量中的某些条件(如被测物的位置等)相互交换，使产生系差的原因对先后两次测量结果起反作用。将这两次测量结果加以适当的数学处理(通常取其算术平均值或几何平均值)，即可消除系统误差或求出系统误差的数值。(4)补偿法补偿法是替代法的一种特殊运用形式，在两次测量中，第一次令标准器的量值N与被测量x相加，在N+x的作用下，测量仪器给出一个示值；然后去掉被测量x，改变标准器的量值为N'，使仪器在N'的作用下给出与第一次同样的示值，则x=N'-N§3系统误差的处理(5)微