拉梅公式的应用

拉梅公式的推导和应用——平面弹性变形问题1°引言拉梅公式在工程力学中具有重要地位，尤其是在解决弹性力学的平面问题时，不失为一种理想的数学模型。前一部分给出拉梅公式的数学推导，用到了极坐标下的四类基本方程，即平衡方程，几何方程，本构方程，和变形协调方程。根据平面轴对称问题简化四类基本方程。再联合平面轴对称问题下的应力函数，得到平面应力问题的解。最后，根据厚壁问题的边界条件得到拉梅公式。后一部分介绍了拉梅公式在工程上的具体应用实例，并给出具体的数值计算。2°拉梅公式的推导弹性理论是一类偏微分方程的边界问题[1]。所以边界的选择决定着工程问题求解的难以。一般要求坐标轴与受力物体的边界相重合，因此对于圆形、环形、楔形或者带小孔的受力物体选用极坐标会更容易解决问题。2.1四类基本方程：①平衡方程：平面上的平衡方程的柱坐标不含z变量：10120rrrrrrfrrrfrrr②几何方程：11rrrrrururrurrr-1()1()1rrrrrvEvEG应变应力③本构方程：-2()12()1rrrrrGvvGvvG应力应变④协调方程：2222222112110rrrrrrrrrrrr2.2极坐标应力公式可以看到应力张量第一不变量与坐标选择无关。222222111()rrrxyrrrrrr其中为同时满足两个平衡方程的艾里应力函数。⑴2.3平面轴对称问题平面轴对称问题中，应力不仅与z无关，而且与θ无关，因此，由公式⑴可得柱坐标下的正应力为：221;;0rrrrr正应力：切应力：⑵对于环向闭合的圆域或、环域，或者平板上的圆孔，θ方向上位移υ的单值条件要求B值为零。即B=0,22=220rrACrACr代入（3）式得到：⑷求解平面轴对称情况下的协调方程可得：43222432232222211++=0ln+ln=(12ln)2(32ln)20rrrrrrrrrArBrrCrDABrCrABrCr其通解为：代入（2）得到：⑶3°拉梅公式的应用例1均压圆环或圆筒对于厚壁圆筒。内表面r=a处受压力pi，在外表面r=b处受压力p0，边界条件为：把⑶式代入以上边界条件可解的：0:;0:;0rirrrraprbp22220022221();2()iiabAppCapbpbaba将A和C代回⑶中可得到拉梅公式，它适用于任意壁厚问题。2222022222222220222222=(1)(1)(1)(1)0riirabbappbarbarabbappbarbar拉梅公式：例2带小孔的等向拉伸平板，此种情况可以简化为pi=0，p0=-q，壁厚很大（b远大于a）的圆环。壁厚t远小于内径a，即t/a远小于1,此时拉梅公式可简化为薄壁筒公式。2222222/11,=22=;0rbaaatarbaatttpat由，于是薄壁筒的拉梅公式：4°小结拉梅公式有很广的用途，尤其是解决受均匀载荷的平面问题。但是拉梅公式也有其局限性。拉梅公式不适用的情况：①筒所承受的内、外压强若为轴向坐标z的二次函数或更高次函数时，不适于用拉梅公式求解。②除上述情况外,经理论分析和计算,筒的结构尺寸或所承受的载荷有突变之处及其附近区域内具有外伸端的过盈配合结构的配合端面附近区域皆不适于用拉梅问题求解。