第一章行列式综述

1线性代数2参考书:一、二阶与三阶行列式1.是一门应用性的数学课程;2.研究的是离散性的数学问题;3.对数学基础的要求不高,与高等数学的关系不密切.1.同济大学应用数学系编.线性代数.高教出版社2.交通大学应用数学系编.线性代数.科学出版社3.姚慕生等编.高等数学(二)第一分册,线性代数.武汉大学出版社课程特点:3第一节二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式1.四个数组成的一个算式:称为二阶行列式)1(2112221122211211aaaaaaaa数称为行列式的元素,i为行标,j为列标；行列式(1)中红线方向称为主对角线方向，蓝线方向为副对角线方向，可见二阶行列式是主对角线上元素的乘积减去副对角线上的元素的乘积.这称为二阶行列式的对角线法则。第一章行列式ija42.三阶行列式：333231232221131211aaaaaaaaa“红线为正，蓝线为负”。这称为三阶行列式的对角线法则333231232221131211aaaaaaaaa)2(322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa332211)1(ppptaaa三阶行列式5第二节n阶行列式一排列和逆序：n个数组成的一个有序数组,称为一个n级排列。如：1234，4213是两个4级排列。试问:1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数。解：共有3*2*1=6个三位数:123,132,213,231,312,321.问:把n个不同元素排成一列共有几种不同的排法?解：共有n*(n-1)……*2*1=n！=Pn注意:四阶及其以上的行列式有类似的形式,但不能按对角线法则6在所有n!个不同的n级排列中只有一个是从小到大次序标准次序:规定由小到大排列为标准次序。逆序：任一排序中，某两个元素的先后次序与标准次序不同。逆序数：一个排列中所有逆序的总数。逆序数为偶（奇）数的排列称为偶（奇）排列。例(1)排列３２５１４的逆序数N=?32514t1=0t2=1t3=0t4=3t5=1N=t1+t2+t3+t4+t5=5逆序数7(2)求下面排列的逆序数N=?排列逆序数１２３４N=0+0+0+0=04132N=0+1+1+2=4偶排列3421N=0+0+2+3=5奇排列的逆序数求排列：例22)-(2642)12(531nnn2)1(01)2()1(000nnnnt解：例的逆序数求排列例24)-(2n2)-(2n(2n)1)-(2n31项n)1()1(2420000nnnt解：项n81.定义：在一个排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的操作过程，叫做对换。将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。如：对换4153242531(3.1)相邻对换4523142531(3.2)三,对换二对换及其性质一个排列经对换后就变成一个新的排列。如：2413，（21对换）1423，（42对换）1243，（43对换）12349Th131535432514125341235412345由此可知对换的性质:性质1：对换改变排列的奇偶性。例:N=5N=2N=1N=0性质2：任一偶(奇)排列可通过偶(奇)数次对换变成标准排列,反之亦然.10Th1推论三n阶行列式的定义n阶行列式不是按对角线法则来定义的.先来分析三阶行列式的一些特点11三阶行列式有三个特征：1.它是3！=6项的代数和，每项是3个元素的乘积；2.每项的3个元素其行标都是标准排列，列标是所有的3级排列3.每项的正负号由列标排列的奇偶性确定。333231232221131211aaaaaaaaa)2(322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa332211)1(ppptaaa三阶行列式12n阶行列式的定义定义一：即：n阶行列式是位于不同行不同列元素乘积的代数和(共有n!项）。各项的符号取决于列标排列的奇偶性。每一项是n个元素的乘积,这n个元素的行标是一个标准排列,而列标是一个任意排列,且n!项恰好把所有的n级排列取遍.nnppptaaa2211)1(nnnnnnaaaaaaaaa212222111211n阶行列式定义一三阶行列式13注意:n阶行列式共有n!项,而n阶行列式的对角线只有2n条,所以4阶及其以上的行列式是不能用对角线方法计算的.nnnnnnaaaaaaaaa212222111211n阶行列式定义一14四,几种特殊的行列式nnD2121000000证明：由n阶行列式的定义：nnppptaaaD2211)1(易见只有nnnaaa,,,222111nppn,,2,1:1于是排列１,2…n的逆序数：t=0nnaaaD...2211所以有n21举例15nnnnD212)1(21)1(00000000)2(证明：由n阶行列式的定义：nnppptaaaD2211)1(nnnnaaa1,21,211,,,1,,1,:1nnppn21nnt排列的逆序数为：nnnD212)1()1(所以16同理有：11212212000000nnnnaaaDaaa11121,1121222,110000nnnnaaaaaaaDa111212221122000nnnnnnaaaaaaaaa1(1)2,12212,1112,100000(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa17行列式的定义二（用行标排列）:n阶行列式也可定义为:其中s为行标排列的逆序数。11(1),nSqqnDaanqqq21总结：事实上，行列式的定义可以写出三种形式：nnpppaaatD2211)1(nnqqqaaasD2211)1(npnqpqpqaaastD2211)1(其中：t为列标排列的逆序数。s为行标排列的逆序数。行列式的定义二18由乘法的交换律,把列标的一般排列通过对换使其成为标准排列同时行标就成了一个一般的排列12121212nnppnpqqqnaaaaaa且两个排列有相同的奇偶性.例且N(2341)与N(4123)奇偶性相同这说明行列式的行和列有等同的地位.即:凡对行成立的性质对列也同样成立.1212,nnpppqqq1223344141122334aaaaaaaa1234aa例求4阶行列式中含有的项。行列式的定义二19第三节行列式的性质四,行列式的性质1性质1行列式与它的转置行列式相等。nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211记nnnnnnjiijnnnnnnaaaaaaaaanjiabbbbbbbbbbD212221212111212222111211),,1,(则称D'为D的转置行列式，且有D=D'。20DDD所以14214422321注：行列式行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立，反之亦能。性质2互换行列式的两行（或两列），行列式变号。bcaddcbaDjirr)(jicc或)(1bcadbadcD推论：若行列式有两行(列),完全相同,则此行列式为零。证:D=-D所以有D=014243122421D例性质221性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘以此行列式。这是数乘以行列式的运算方法(提取公因子).14243122421D如：D2282432444212431224212性质322推论1:行列式中如果有两行（列）元素成比例，则该行列式为0.02zyxcbacbazyxcbacbaD222例如：性质4推论2:行列式中如果有一行（列）元素全为0，则该行列式为023性质4:行列式的加法性质5nnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaaD1,1,121,21,22111,11,111)()()(2211njnjjjjjbababannjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaa1,1,121,21,22111,11,111njjjaaa21nnjnjnnnjjnjjaaaaaaaaaaaa1,1,121,21,22111,11,111njjjbbb2124性质5：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去(即一行元素加上另一行元素的若干倍)，行列式的值不变。243122421D如：+214243760421性质6014243842421243122421243814222421243122421D25行列式的三种基本操作—————行列式的“初等变换”(1)交换两行（列)ri-------rj(ci-------cj)(2)第i行（列）乘以k：ri×k（ci×k)(3)某一行(列)的k倍加到另一行(列)ri+k×rj行列式性质的应用——行列式的求值：263351110243152113D例注：对于四阶以上的行列式可以通过行列式的“初等变换”，将行列式化为上三角形，以便求值。72160112064802131D======c1c2r2-r1r4+5r1======3315112043512131r2r3======举例27721606480112021311510001080011202131r3+4r2r4-8r2=====r4+5/4r3=======2500010800112021314025821前页283111131111311113D例解:Dr1+r2+r3+r4=========3111131111316666r1/6==31111311113111116r2-r1r3-r1r4-r1=====48222162000020000201111629nnxaaaxaaaxD例nnxaaanxaaxanxaaaanx)1()1()1(nnxaaaaxaaaanx111])1([nnaxaxaaaanx0000001])1([1)]()1([naxanx30第四节行列式按行(列)展开44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD如在四阶行列式中一,代数余子式行第二列划去有：所在的第三将32a后,留下来的n-1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij;而Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式。在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行,第j列划去五,行列式按行(列)展开314443412423211413113232aaaaaaaaaMa的余子式为：代数余子式为：32322332)1(MMA243122421D又如：第三行的三个元素的余子式及代数余子式依次为：10124231M10)1(311331MA7124132M7)1(322332MA6222133M6)1(333333MA代数余子式前页32一个三阶行列式共有3！=6项，可以通过提取公因子分为3组行列式按行(