直线与椭圆位置关系

复习：点与圆的位置关系有几种，如何判定？法1（几何法）：比较dOA与r的大小；法2（代数法）：代入判断直线与圆的位置关系有几种，，如何判定？法1（几何法）：比较dO-l与r的大小；法2（代数法-将两图形的公共点个数问题转化为对应方程公共解个数的问题）：联立后看△符号√√1：如何判断点、线与椭圆的位置关系？2：利用直线与椭圆的位置关系研究几何图形的性质。本节课的重点：点P(x0,y0)与椭圆的位置关系及判断：1.点在椭圆外2.点在椭圆上3.点在椭圆内1220220byax1220220byax1220220byax例1：①已知直线l：x+y-3=0，椭圆判断直线l与椭圆C的位置关系。22:14xCy②已知直线l：y=mx-m，椭圆判断直线l与椭圆C的位置关系。22:14xCy③已知直线l：y=x+m，椭圆判断直线l与椭圆C的位置关系。22:14xCy1、公共点问题：判断直线与椭圆的位置关系的方法有：⑴几何法：直接作图；⑵代数法：直线Ax+By+C=0与椭圆的位置关系：102222byaxCByAxyoF1F2xyoF1F2xyoF1F2x12222byax3.相离:方程组无公共解.2.相切:方程组只有一组公共解.1.相交:方程组有两组公共解.等价于：△0等价于：△=0等价于：△00//2/cxbxa(代数法)直线与椭圆联立得练习1：已知直线y=mx-2与椭圆总有公共点，求m的取值范围。2214xy练习2：已知直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，求m的取值范围。1522myx2、弦长问题：例2：已知直线x－y－1＝0与椭圆相交于点A、B，求弦长|AB|。141622yx小结：若直线l:y=kx+b与椭圆相交于A、B两点，设则弦长|AB|:1122(,),(,)AxyBxy221221)()(||yyxxAB),(2211bkxybkxy2212221)()(||xxkxxAB2212)(1xxk2122124)(1xxxxk---设而不求思路1：直接求出x1,y1,x2,y2思路2：只要求出x1,x2思路3：直接求出x1+x2、x1x2√例题3：若直线y=x+m与椭圆相交于2214xyA、B两点，求弦长|AB|的取值范围。例题4：已知直线l：4x-5y+40=0及椭圆C：221259xy椭圆C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，请求出最小距离。3、最值问题.036)42(4)21(16)41(222kxkkxk4)41(2)21(1620221kkkxxxM.21k解得，得由1936)4(222yxxky)4(2xky存在，设解：由题意知直线斜率082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为到小结经检验，符合△0.241936.522方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx4、弦的中点问题.241936.522方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx另解：，则，，，设)()(2211yxByxA193619362224222221212121yxyxyyxx09))((36))((]4[]3[21212121yyyyxxxx得：由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为变式：本题改为M（2,4），问“是否存在被M平分的弦，若存在，求弦方程”。该怎么解？设点作差法：作用：可解决弦的中点和弦的斜率和椭圆系数之间的关系。前提条件：直线与椭圆相交。解决方案：验△。求椭圆方程。，且于与椭圆交直线已知椭圆方程为例,,1,14:62222OBOABAxybybxAxyOB),(),,(2211yxByxA解：设得：则由OBOA15852..........22yx椭圆方程为5、垂直问题0,22121yyxxOBOA：法1,112211xyxykkOBOA：法练习3：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，椭圆C与直线x+y+1=023e相交于P、Q两点，若三角形OPQ为直角三角形，求椭圆C的方程。练习4：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，椭圆C与直线x+y+1=023e相交于P、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过原点，求椭圆C的方程。（3）弦中点问题（4）与垂直有关的问题解1:(整体)设而不求；解2:(个体)设点作差法02121yyxx小结:直线与椭圆：（2）弦长问题（1）直线与椭圆位置关系(即公共点个数）2122124)(1xxxxkAB基本解题步骤：①联立;②消元;③二次项系数+△;④韦达;⑤化简，代公式求椭圆方程。，且于与椭圆交直线已知椭圆方程为例,,1,14:62222OBOABAxybybxAxyOB),(),,(2211yxByxA解：设02121yyxxOBOA得：则由222441byxxy由2224)1(4bxx0448522bxx整理得：54458022121bxxxx△由韦达定理得)1)(1(2121xxyy12121xxxx5412b054154422bb852b1585222yx椭圆方程为02121yyxx弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线：已知椭圆例2114722mmxyyxxyO121代入椭圆将解：mxy)1(01)(422mxx012522mmxx直线与椭圆有公共点，0)1(20422mm2525m点时，直线与椭圆有公共所以当2525m4、最值问题代入椭圆将mxy)2(012522mmxx由弦长公式得：5)1(20411||1||2222mmakAB245522m5102||0maxABm时，当xy此时，直线方程为xyO121弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线：已知椭圆例2114722mmxyyx4、最值问题.125144)(822的取值范围求上的点，是椭圆，：已知例yxuyxyxPyoF1F2x代入椭圆方程：：将解xuy2125)(14422xux0125252)2511441(22uxux0)125)(2511441(4)252(022uu得：由13u1313yx4、最值问题练习1：已知过椭圆的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆相交于点A、B，求弦长|AB|。141622yx等于椭圆C的短轴长，求的值。已知椭圆，直线22:14xCy:,lyxmPQ且直线与椭圆C相交于P、Q两点，若lm练习2：例题5：过椭圆内一点M(2,1)作一条弦AB，221164xy使得弦AB被点M平分，求弦AB所在的直线方程。设点作差法：作用：可解决弦的中点和弦的斜率和椭圆系数之间的关系。前提条件：直线与椭圆相交。解决方案：验△。变式：本题改为M(2,4)，问:是否存在被M平分的弦?