24.2.2垂径定理

1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴.2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？圆是中心对称图形，圆心是对称中心问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE活动一（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧③AE=BE,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,ＤＣＡＢEＯ垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD•思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？如图:AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM垂径定理的推论●OABCDM└连接OA,OB,则OA=OB.在△OAM和△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（1）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（2）（3）（4）讨论（1）（3）（2）（4）（5）（1）（4）（2）（3）（5）（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧（5）平分弦所对的劣弧（3）（5）（3）（4）（1）（2）（5）（2）（4）（1）（3）（5）（2）（5）（1）（3）（4）（1）（2）（4）（4）（5）（1）（2）（3）●OABCDM└每条推论如何用语言表示？（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（4）…（5）…（6）…（7）…（8）…（9）…根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论结论一、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分●OABCDM└3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。cm32cm328cmABOEABOEOABE1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是。2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。二、填空：●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.2cm或14cmEEFABOE650()2OBmm=D600()2EBmm=油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。22OEOBEB=-OE=125(mm)(2)BAOED解：如图,△ABC的三个顶点在⊙O上，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F。求证：EF∥BC，EF=练习OABCEF证明：∵OE⊥AB∴E为AB的中点∵OF⊥AC∴F为AC的中点∴EF为三角形ABC的中位线12BC1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE再来！你行吗？2：已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.3、已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON夹在两条平行弦间的弧相等.你能用一句话概括这个结论吗？小结:解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABOC问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？解得：R≈27．9（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD21137.418.7,22ADAB==?AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2解：因为AB如图，用ＡＢ表示主桥拱，设ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是ＡＢ的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒7.218.7圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理:在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题。根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，求OP的取值范围.OABP练习3≤OP≤5例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径.解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE。∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。.AEBO讲解例１、图示，在圆Ｏ中，弦ＡＢ的长为８厘米，圆心Ｏ到ＡＢ的距离为３厘米，求圆Ｏ的半径。COABOADBCOEFABD例１题图变式１题图变式２题图变式１：若以Ｏ为圆心，再画一个圆交ＡＤ与Ｂ、Ｃ两点，则ＡＢ与ＣＤ之间存在怎样的大小关系？变式２：若以Ｏ为圆心，在变式１题图的基础上再画一个圆，则ＥＡ与ＢＦ，ＥＣ与ＤＦ之间存在怎样的大小关系？变式３：在变式１题图的基础上，连结ＯＡ、ＯＢ，将大圆隐去，得到下图，设ＯＡ＝ＯＢ，试证明ＡＣ＝ＢＤ。变式４：在变式１题图的基础上，将小圆隐去，得到下图，设ＯC＝ＯD，试证明ＡＣ＝ＢＤ。OABCDOABCD变式３题图变式４题图学生练习已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求证：EC＝DF.AOBECDF如图,A、B、C在圆上,且AB=AC=5厘米,BC=8厘米，求圆的半径。试一试BCAOD2.已知，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6厘米，EB=2厘米，∠BED=30°，求CD的长。说明：解决有关圆的问题，常常需要添加辅助线，针对各种具体情况，辅助线的添加有一定的规律，本例和上例中作“垂直于弦的直径”就是一个很好的例证。练习EOABCDF如图，弓形ABC中，弦AC的长为8厘米，弦的中点到劣弧中点间的长度是2厘米，求圆的半径。练习ABCDOx42x-2如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米，半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米的送家具的卡车，问这辆卡车能否通过通道，请说明理由。ABOCDE21.3高2.5米，宽2.3米解：如图，用半圆O表示通道上面的半圆，AB为直径，弦CD平行AB，过O作OE垂直CD于E，连结OD，据垂径定理知：ABOCDEED=CE=0.5CD在Rt△OED中，由勾股定理，得OD=1.3，OE=2.5－2=0.5ED=1.2CD=2ED=2.42.3所以车能通过某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽度为７.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得R=3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH∴此货船能顺利通过这座拱桥.